IMC 2018/1/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2018/1/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 25, 2018 12:27 pm

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f:(0,\infty) \to \mathbb{R} ώστε

\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f’(\sqrt{ab})

για κάθε a,b > 0.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2018/1/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Ιούλ 29, 2018 4:31 pm

Θέτουμε \displaystyle b \equiv \frac{x^2}{a} και παίρνουμε \displaystyle f'(x) = \frac{f(x^2/a) - f(a)}{x^2/a - a} για x \neq a. Εύκολα αποδεικνύουμε τώρα με επαγωγή ότι η f έχει παράγωγο οποιασδήποτε τάξης.

Γράφουμε f(x) = f(a) + (x-a) f'(\sqrt{ax}). Παραγωγίζοντας τρεις φορές ως προς x και θέτοντας x=a έχουμε \displaystyle f'''(a) + \frac{3}{a} f''(a) = 0. Λύνοντας τη διαφορική εξίσωση παίρνουμε \displaystyle f''(x) = \frac{C}{x^3} \implies f(x) = \frac{P}{x} + Qx + R. Εύκολα επαληθεύουμε ότι κάθε συνάρτηση αυτής της μορφής είναι λύση.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης