Πρωταρχική ρίζα της μονάδας

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\zeta$ μία ρίζα της μονάδος. Αποδείξατε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{\zeta} = \sum_{n=0}^{\infty} \zeta^n \left ( 1-\zeta \right ) \left ( 1-\zeta^2 \right ) \cdots \left ( 1- \zeta^n \right )}$
με τη προϋπόθεση ότι ο

- ος όρος είναι

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 23, 2018 11:46 am
Έστω $\zeta$ μία ρίζα της μονάδος. Αποδείξατε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{\zeta} = \sum_{n=0}^{\infty} \zeta^n \left ( 1-\zeta \right ) \left ( 1-\zeta^2 \right ) \cdots \left ( 1- \zeta^n \right )}$
με τη προϋπόθεση ότι ο - ος όρος είναι .

Ισχύει η ταυτότητα

$1=x+\sum_{k=1}^{n-1}x^{k+1}(1-x)...(1-x^{k})+(1-x)(1-x^{2})....(1-x^{n})$

η απόδειξη της γίνεται με μια απλή επαγωγή.

Αν λοιπόν $\zeta$ είναι μια ρίζα της μονάδας ώστε το

είναι ο ελάχιστος φυσικός με $\zeta ^{n+1}=1$

και θέσουμε στην ταυτότητα $x=\zeta$

και διαιρέσουμε με το $\zeta$ παίρνουμε την ζητούμενη αφού $\frac{1}{\zeta }=\zeta ^{n}$

Την ταυτότητα φυσικά και δεν την ήξερα.Την ανακάλυψα από την άσκηση.
Κερδίσαμε και μια ταυτότητα λοιπόν.

Πρωταρχική ρίζα της μονάδας

Πρωταρχική ρίζα της μονάδας

Re: Πρωταρχική ρίζα της μονάδας

Μέλη σε σύνδεση