Ολοκλήρωμα με ακέραιο μέρος

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4328
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα με ακέραιο μέρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Οκτ 16, 2018 12:20 pm

Ας δηλώσουμε με \left \lfloor \cdot \right \rfloor το ακέραιο μέρος. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{\infty} \frac{2}{\left \lfloor t \right \rfloor^3 + 6 \left \lfloor t \right \rfloor^2 + 11 \left \lfloor t \right \rfloor + 6} \, \mathrm{d}t }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα με ακέραιο μέρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 16, 2018 1:56 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 12:20 pm
Ας δηλώσουμε με \left \lfloor \cdot \right \rfloor το ακέραιο μέρος. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{\infty} \frac{2}{\left \lfloor t \right \rfloor^3 + 6 \left \lfloor t \right \rfloor^2 + 11 \left \lfloor t \right \rfloor + 6} \, \mathrm{d}t }
Αν γράψουμε \int_{1}^{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}

τότε το ολοκλήρωμα είναι ίσο με \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}

Και επειδή \dfrac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}

η σειρά είναι τηλεσκοπική οπότε όπως λέει και ο Τόλης το άθροισμα της είναι \frac{1}{6}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες