Ολοκλήρωμα με ακέραιο μέρος

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{\infty} \frac{2}{\left \lfloor t \right \rfloor^3 + 6 \left \lfloor t \right \rfloor^2 + 11 \left \lfloor t \right \rfloor + 6} \, \mathrm{d}t }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 16, 2018 12:20 pm
Ας δηλώσουμε με $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{\infty} \frac{2}{\left \lfloor t \right \rfloor^3 + 6 \left \lfloor t \right \rfloor^2 + 11 \left \lfloor t \right \rfloor + 6} \, \mathrm{d}t }$

Αν γράψουμε $\int_{1}^{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}$

τότε το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}$

Και επειδή $\dfrac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}$

η σειρά είναι τηλεσκοπική οπότε όπως λέει και ο Τόλης το άθροισμα της είναι $\frac{1}{6}$

Ολοκλήρωμα με ακέραιο μέρος

Ολοκλήρωμα με ακέραιο μέρος

Re: Ολοκλήρωμα με ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση