Λίγο ... απ' όλα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Λίγο ... απ' όλα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 02, 2018 10:00 am

Έστω n ακέραιος μεγαλύτερος του 1 και ας δηλώσουμε με S_k(n) την οικογένεια όλων των υποσυνόλων του \{2, 3, \dots, n \} με k στοιχεία. Επιπλέον με \mathcal{H}_n συμβολίζουμε τον n - οστό αρμονικό όρο. Δείξατε ότι:

\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} \left ( 2n+1-2k \right ) \sum_{A \subset S_k(n)}\prod_{j \in A} \frac{1}{j} = \left ( n+1 \right ) \left ( n+2 - \mathcal{H}_{n+1} \right )}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Λίγο ... απ' όλα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Δεκ 02, 2018 1:00 pm

Θα γράφω X για το σύνολο \{2,3,\ldots,n\}.

Ορίζω

\displaystyle  f(x) = \prod_{k=2}^n\left(x +  \frac{1}{k}\right) = \left(x +  \frac{1}{2}\right)\left(x +  \frac{1}{3}\right)\left(x +  \frac{1}{n}\right).

Τότε

\displaystyle  f(x) = \sum_{A \subseteq X} x^{n-1-|A|} \prod_{j \in A} \frac{1}{j}

Παραγωγίζοντας έχω

\displaystyle  f'(x) = \sum_{A \subseteq X} (n-1-|A|)x^{n-2-|A|} \prod_{j \in A} \frac{1}{j}

και άρα

\displaystyle  f'(1) = \sum_{A \subseteq X} (n-1-|A|)\prod_{j \in A} \frac{1}{j}

Αλλάζοντας την σειρά των αθροισμάτων, το αριστερό μέλος του ζητουμένου γίνεται

\displaystyle  \sum_{A \subseteq X}(2n+1-2|A|)\prod_{j \in A} \frac{1}{j} = 2f'(1)+3f(1)

[Προσοχή: Στο ζητούμενο έπρεπε να γράφει A \in S_k(n) και όχι A \subset S_k(n).]

Όμως \displaystyle  f(1) = \frac{n+1}{2} και

\displaystyle  f'(x) = \sum_{k=2}^n \prod_{\stackrel{\ell=2}{\ell \neq k}}^n \left(x +  \frac{1}{\ell}\right) = \sum_{k=2}^n  \frac{1}{\left(x+\tfrac{1}{k}\right)}\prod_{\ell=2}^n \left(x +  \frac{1}{\ell}\right)

Άρα

\displaystyle  2f'(1) = (n+1)\left( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{n}{n+1}\right) = (n+1)\left(n+1 - \frac{1}{2}-H_{n+1}\right)

Συνεπώς

\displaystyle  2f'(1) + 3f(1) = (n+1)(n+2-H_{n+1})

όπως θέλαμε να δείξουμε.

Σημείωση: Χρησιμοποιήσαμε την σύμβαση (όπως συνηθίζεται άλλωστε) ότι το κενό γινόμενο είναι ίσο με 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης