Λίγο ... απ' όλα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ακέραιος μεγαλύτερος του

και ας δηλώσουμε με S_k(n)

την οικογένεια όλων των υποσυνόλων του $\{2, 3, \dots, n \}$ με

στοιχεία. Επιπλέον με $\mathcal{H}_n$ συμβολίζουμε τον

- οστό αρμονικό όρο. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} \left ( 2n+1-2k \right ) \sum_{A \subset S_k(n)}\prod_{j \in A} \frac{1}{j} = \left ( n+1 \right ) \left ( n+2 - \mathcal{H}_{n+1} \right )}$

#2

Θα γράφω

για το σύνολο $\{2,3,\ldots,n\}$ .

Ορίζω

$\displaystyle f(x) = \prod_{k=2}^n\left(x + \frac{1}{k}\right) = \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{n}\right)$ .

Τότε

$\displaystyle f(x) = \sum_{A \subseteq X} x^{n-1-|A|} \prod_{j \in A} \frac{1}{j}$

Παραγωγίζοντας έχω

$\displaystyle f'(x) = \sum_{A \subseteq X} (n-1-|A|)x^{n-2-|A|} \prod_{j \in A} \frac{1}{j}$

και άρα

$\displaystyle f'(1) = \sum_{A \subseteq X} (n-1-|A|)\prod_{j \in A} \frac{1}{j}$

Αλλάζοντας την σειρά των αθροισμάτων, το αριστερό μέλος του ζητουμένου γίνεται

$\displaystyle \sum_{A \subseteq X}(2n+1-2|A|)\prod_{j \in A} \frac{1}{j} = 2f'(1)+3f(1)$

[Προσοχή: Στο ζητούμενο έπρεπε να γράφει $A \in S_k(n)$ και όχι $A \subset S_k(n)$ .]

Όμως $\displaystyle f(1) = \frac{n+1}{2}$ και

$\displaystyle f'(x) = \sum_{k=2}^n \prod_{\stackrel{\ell=2}{\ell \neq k}}^n \left(x + \frac{1}{\ell}\right) = \sum_{k=2}^n \frac{1}{\left(x+\tfrac{1}{k}\right)}\prod_{\ell=2}^n \left(x + \frac{1}{\ell}\right)$

Άρα

$\displaystyle 2f'(1) = (n+1)\left( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{n}{n+1}\right) = (n+1)\left(n+1 - \frac{1}{2}-H_{n+1}\right)$

Συνεπώς

$\displaystyle 2f'(1) + 3f(1) = (n+1)(n+2-H_{n+1})$

όπως θέλαμε να δείξουμε.

Σημείωση: Χρησιμοποιήσαμε την σύμβαση (όπως συνηθίζεται άλλωστε) ότι το κενό γινόμενο είναι ίσο με

.

Λίγο ... απ' όλα

Λίγο ... απ' όλα

Re: Λίγο ... απ' όλα

Μέλη σε σύνδεση