Putnam 2018/A5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8175
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2018/A5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Δεκ 05, 2018 10:40 am

Έστω απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ώστε f(0) = 0, f(1) = 1 και f(x) \geqslant 0 για κάθε x \in \mathbb{R}.

Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος n και πραγματικός αριθμός x ώστε f^{(n)}(x) < 0.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11266
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Putnam 2018/A5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 05, 2018 11:36 am

Μπράβοοο! Μας αντιγράφει ο Putnam;

Πολύ παλιά είχα φτιάξει την άσκηση εδώ η οποία είναι παρεμφερής με την Putnam. H λύση που δίνω μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί για την ίδια την Putnam. Τουλάχιστον έτσι νομίζω κοιτώντας την πρόχειρα, πάντως θα το ξαναδώ γιατί τώρα έχω μάθημα και συμβούλιο ενώ αργότερα διαγώνισμα, και έχω πανικό...


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2505
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Putnam 2018/A5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Δεκ 05, 2018 5:29 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Δεκ 05, 2018 10:40 am
Έστω απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ώστε f(0) = 0, f(1) = 1 και f(x) \geqslant 0 για κάθε x \in \mathbb{R}.

Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος n και πραγματικός αριθμός x ώστε f^{(n)}(x) < 0.
Αν δεν ισχύει τότε θα πρέπει

f^{(n)}(x)\geq 0

για x\in \mathbb{R}

και n=0,1,2.....




Θα έχουμε ΑΤΟΠΟ δείχνοντας το γενικότερο.



Αν f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}

άπειρες φορές παραγωγίσημη και
f^{(n)}(x)\geq 0

για x \in (a,b) και n=0,1,2.....

τότε δύο περιπτώσεις υπάρχουν

f(x)=0 για x \in (a,b) η

f(x)>0 για x \in (a,b)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ.
Η συνάρτηση είναι αύξουσα καθώς και όλες οι παράγωγοι της.

Αν δεν ισχύει καμία από τις δύο θα υπάρχει c\in (a,b)

ωστε x\in (a,c]\Rightarrow f(x)=0 \wedge x\in (c,b)\Rightarrow f(x)>0
(c=inf\left \{ x\in (a,b):f(x)>0 \right \})

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι c=0

(παίρνουμε την f(x-c))

Προφανώς είναι f^{(n)}(0)=0 για n=0,1,2.....

Για x>0 κάνοντας Taylor έχουμε

f(x)=f^{(n)}(\xi )\dfrac{x^{n}}{n!}\leq f^{(n)}(x )\dfrac{x^{n}}{n!}

Εστω τώρα 0<d<b

Κάνοντας Taylor με κέντρο το \frac{d}{2}

έχουμε

f(d)=f(\frac{d}{2})+...+f^{(k)}(\frac{d}{2})\frac{(\frac{d}{2})^{k}}{k!}+.....+f^{(m)}(\frac{d}{2})\frac{(\frac{d}{2})^{m}}{m!}\geq (m+1) f(\frac{d}{2})

που αφού το m είναι όσο μεγάλο θέλουμε εχουμε ΑΤΟΠΟ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης