SEEMOUS 2019/3

Nick1990 · #1

Λογω έλλειψης χρονου βάζω μονο το 3ο θέμα που μου άρεσε ιδιαίτερα. Θα περιμένω λίγο και μετά θα βάλω μια ενδιαφέρουσα λύση που έχω σκεφτεί.

Έστω ένα θετικος ακέραιος $n \geq 2$ και $n \times n$ πίνακες A, B

με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έτσι ώστε B^2 = B

. Να δείξετε οτι:

$Rank(AB - BA) \leq Rank(AB + BA)$

fdns · #2

Από την ανισότητα του Frobenius εδώ έχουμε ότι:

$\textrm{rank}\{ (B-I)(AB+BA)\} +\textrm{rank}\{ (AB+BA)(B-I)\}\leq\\ \textrm{rank}\{ AB+BA\} +\textrm{rank}\{ (B-I)(AB+BA)(B-I)\}$

Όμως παρατηρούμε ότι (B-I)(AB+BA)(B-I)=0

και άρα:

$\textrm{rank}\{BAB-AB\} +\textrm{rank}\{BAB-BA\} \leq \textrm{rank}\{AB+BA\}$

Τέλος, από την υποπροσθετικότητα του $\textrm{rank}$ καθώς και το γεγονός ότι $\textrm{rank}\{ -X\}=\textrm{rank}\{ X\}$ για οποιοδήποτε πίνακα

, το ζητούμενο έπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο πίνακας

είναι διαγώνιος με στοιχεία στην διαγώνιο

η

.

Γράφοντας τους πίνακες φαίνεται εύκολα το ζητούμενο.

SEEMOUS 2019/3

SEEMOUS 2019/3

Re: SEEMOUS 2019/3

Re: SEEMOUS 2019/3

Μέλη σε σύνδεση