Προετοιμασία για seemous

petrosqw · #1

Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{n^{4}}\left ( \prod_{k=1}^{2n}(n^{2}+k^{2}) \right )^{\frac{1}{n} }$

#2

petrosqw έγραψε: Τρί Ιουν 25, 2019 6:38 pm Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{n^{4}}\left ( \prod_{k=1}^{2n}(n^{2}+k^{2}) \right )^{\frac{1}{n} }$

Μάλλον απλή για τέτοιο διαγωνισμό.

Η δοθείσα ισούται με

$\displaystyle{\frac{1}{n^{4}}\left (n^{4n} \prod_{k=1}^{2n}\left (1+\frac {k^{2}}{n^{2}}\right ) \right )^{\frac{1}{n} }= \prod_{k=1}^{2n}\left (1+\frac {k^{2}}{n^{2}}\right )^{\frac{1}{n} }$

O λογάριθμος του τελευταίου είναι

$\displaystyle{ \frac {1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \ln \left (1+\frac {k^{2}}{n^{2}}\right )}$

που είναι το άθροισμα Riemann του $\displaystyle{\int _0^2 \ln (1+x^2)dx}$ .

Για το τελευταίο μπορούμε να βρούμε ακόμα και το αόριστο ολοκλήρωμα, το οποίο είναι $\displaystyle{x\ln(1+x^2)-2x+2\arctan x +c}$ . Και λοιπά.

petrosqw · #3

Βάζω και άλλη μια άσκηση
Έστω

ένας πρωτος αριθμός και

,

φυσικοί με a>b

Έστω ακόμη ότι $a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+...+a_{r}p^{r}$ και
$b=b_{0}+b_{1}p+b_{2}p^{2}+...+b_{s}p^{s}$ ,όπου

$0\leq a_{i },b_{i }<p$ .Να δείξετε ότι:

I) $\binom{a}{b}\equiv \prod_{i=0}^{r}\binom{a_{i }}{b_{i }} mod p$

II) $\binom{a}{b}\not\equiv 0 mod p$ αν και μόνο αν $a_{i}\geq b_{i }$ για κάθε

#4

Το (Ι) είναι το θεώρημα Lucas. (Υπάρχει απόδειξη με γεννήτριες συναρτήσεις στο σύνδεσμο.) Το (ΙΙ) είναι ασφαλώς άμεση συνέπεια του (Ι). Είναι επίσης και συνέπεια του θεωρήματος Kummer

christinat · #5

Αν

τοτε $\binom{p}{i }=\frac{p!}{i!(p-i)!}$

Ισχύει ότι $p\mid p!$

Επίσης οι παράγοντες στον παρονομαστή είναι μικρότεροι του

Οποτε $\binom{p}{i }\equiv 0$ mod p

Άρα $(1+x)^{p}\equiv 1+x^{p}$ mod p

(1)

Εφαρμόζοντας την σχεση (1) t φορές προκύπτει ότι $(1+x)^{p^{t}}\equiv 1+x^{p^{t}}$ mod p

Έτσι $(x+1)^{a}=\prod_{i =0}^{r}(1+x^{p^{i }})^{a_{i }}$

Όμως $(1+x)^{a}=\sum_{n=0}^{a}\binom{a}{n}x^{n}$

Συνεπώς $\binom{a}{b}\equiv \prod_{i=0}^{r}\binom{a_{i }}{b_{i }}$ mod p

Επίσης $\binom{a_{i }}{b_{i }}=0$ αν και μόνο αν $a_{i }<b_{i }$

*Ας πει οποιος μπορεί γνώμη για την λυση

Προετοιμασία για seemous

Προετοιμασία για seemous

Re: Προετοιμασία για seemous

Re: Προετοιμασία για seemous

Re: Προετοιμασία για seemous

Re: Προετοιμασία για seemous

Μέλη σε σύνδεση