IMC 2019/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2019/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 03, 2019 1:37 pm

Έστω μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(-1,1) \to \mathbb{R} ώστε

\displaystyle  2f'(x) + xf''(x) \geqslant 1

για κάθε x \in (-1,1). Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle  \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \frac{1}{3}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Αύγ 04, 2019 11:16 am

Θέτουμε g(x) = xf(x). Παρατηρούμε ότι η g(x) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με g''(x) \geqslant 1.

Από Θεώρημα Taylor για κάθε x υπάρχει \xi μεταξύ του 0 και του x ώστε \displaystyle g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(\xi) \frac{x^2}{2}.

Επειδή επίσης g(0) = 0, από τα πιο πάνω παίρνουμε \displaystyle g(x) \geqslant g'(0)x + \frac{x^2}{2} για κάθε x \in (-1,1). Άρα

\displaystyle  \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^1 g(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \int_{-1}^1 \left( g'(0)x + \frac{x^2}{2}\right) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης