IMC 2019/1/3

#1

Έστω μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-1,1) \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle 2f'(x) + xf''(x) \geqslant 1$

για κάθε $x \in (-1,1)$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \frac{1}{3}.$

#2

Θέτουμε

. Παρατηρούμε ότι η g(x)

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με $g''(x) \geqslant 1$ .

Από Θεώρημα Taylor για κάθε

υπάρχει $\xi$ μεταξύ του

και του

ώστε $\displaystyle g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(\xi) \frac{x^2}{2}.$

Επειδή επίσης g(0) = 0

, από τα πιο πάνω παίρνουμε $\displaystyle g(x) \geqslant g'(0)x + \frac{x^2}{2}$ για κάθε $x \in (-1,1)$ . Άρα

$\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^1 g(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \int_{-1}^1 \left( g'(0)x + \frac{x^2}{2}\right) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}.$

petrosqw · #3

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2019 1:37 pm
Έστω μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-1,1) \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle 2f'(x) + xf''(x) \geqslant 1$

για κάθε $x \in (-1,1)$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \frac{1}{3}.$

Έχω μια απορία:
Η f δεν θα έπρεπε να είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα;
Και αν όχι,γιατί;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

petrosqw έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2019 6:22 pm

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2019 1:37 pm
Έστω μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-1,1) \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle 2f'(x) + xf''(x) \geqslant 1$

για κάθε $x \in (-1,1)$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \frac{1}{3}.$

Έχω μια απορία:
Η f δεν θα έπρεπε να είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα;
Και αν όχι,γιατί;

Όχι δεν θα έπρεπε.
Είμαστε σε φάκελο πανεπιστημίου.
Αλλά θα προσπαθήσω να στο εξηγήσω.
Το ολοκλήρωμα Riemman εκφράζει ''εμβαδό''.
Αν λοιπόν αλλάξουμε την τιμή μιας συνάρτηση σε ένα σημείο
το ''εμβαδό'' της γραφικής της παράστασης δεν αλλάζει .
Το ίδιο συμβαίνει και για πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Ετσι οι τιμές στα άκρα μπορεί να είναι οποιεσδήποτε.
Εδώ βέβαια τα πράγματα είναι χειρότερα γιατί η συνάρτηση μπορεί να μην είναι φραγμένη στα άκρα
οπότε θα έχουμε γενικευμένο Riemman.
Αν πάρουμε ολοκλήρωμα Lebesgue που είναι πιο πλήρες από του Riemman και κυρίως χρησιμοποιείται στα
Μαθηματικά τότε το ολοκλήρωμα δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ένα σύνολο
''μήκους''

.
π.χ μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές σε όλα τα ρητά σημεία που ορίζεται η συνάρτηση.
Ελπίζω να σε κάλυψα ,και σίγουρα σε προβλημάτισα.

petrosqw · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2019 7:24 pm

petrosqw έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2019 6:22 pm

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2019 1:37 pm
Έστω μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-1,1) \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle 2f'(x) + xf''(x) \geqslant 1$

για κάθε $x \in (-1,1)$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \frac{1}{3}.$

Έχω μια απορία:
Η f δεν θα έπρεπε να είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα;
Και αν όχι,γιατί;
Όχι δεν θα έπρεπε.
Είμαστε σε φάκελο πανεπιστημίου.
Αλλά θα προσπαθήσω να στο εξηγήσω.
Το ολοκλήρωμα Riemman εκφράζει ''εμβαδό''.
Αν λοιπόν αλλάξουμε την τιμή μιας συνάρτηση σε ένα σημείο
το ''εμβαδό'' της γραφικής της παράστασης δεν αλλάζει .
Το ίδιο συμβαίνει και για πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Ετσι οι τιμές στα άκρα μπορεί να είναι οποιεσδήποτε.
Εδώ βέβαια τα πράγματα είναι χειρότερα γιατί η συνάρτηση μπορεί να μην είναι φραγμένη στα άκρα
οπότε θα έχουμε γενικευμένο Riemman.
Αν πάρουμε ολοκλήρωμα Lebesgue που είναι πιο πλήρες από του Riemman και κυρίως χρησιμοποιείται στα
Μαθηματικά τότε το ολοκλήρωμα δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ένα σύνολο
''μήκους'' .
π.χ μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές σε όλα τα ρητά σημεία που ορίζεται η συνάρτηση.
Ελπίζω να σε κάλυψα ,και σίγουρα σε προβλημάτισα.

Ευχαριστώ για την εξήγηση
Αναρωτιέμαι πως αυτή η άσκηση μπορεί να λυθεί με γνώσεις Γ'Λυκειου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

petrosqw έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2019 9:18 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2019 7:24 pm

petrosqw έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2019 6:22 pm

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2019 1:37 pm
Έστω μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-1,1) \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle 2f'(x) + xf''(x) \geqslant 1$

για κάθε $x \in (-1,1)$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \frac{1}{3}.$

Έχω μια απορία:
Η f δεν θα έπρεπε να είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα;
Και αν όχι,γιατί;
Όχι δεν θα έπρεπε.
Είμαστε σε φάκελο πανεπιστημίου.
Αλλά θα προσπαθήσω να στο εξηγήσω.
Το ολοκλήρωμα Riemman εκφράζει ''εμβαδό''.
Αν λοιπόν αλλάξουμε την τιμή μιας συνάρτηση σε ένα σημείο
το ''εμβαδό'' της γραφικής της παράστασης δεν αλλάζει .
Το ίδιο συμβαίνει και για πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Ετσι οι τιμές στα άκρα μπορεί να είναι οποιεσδήποτε.
Εδώ βέβαια τα πράγματα είναι χειρότερα γιατί η συνάρτηση μπορεί να μην είναι φραγμένη στα άκρα
οπότε θα έχουμε γενικευμένο Riemman.
Αν πάρουμε ολοκλήρωμα Lebesgue που είναι πιο πλήρες από του Riemman και κυρίως χρησιμοποιείται στα
Μαθηματικά τότε το ολοκλήρωμα δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ένα σύνολο
''μήκους'' .
π.χ μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές σε όλα τα ρητά σημεία που ορίζεται η συνάρτηση.
Ελπίζω να σε κάλυψα ,και σίγουρα σε προβλημάτισα.
Ευχαριστώ για την εξήγηση
Αναρωτιέμαι πως αυτή η άσκηση μπορεί να λυθεί με γνώσεις Γ'Λυκειου

Ναι κατά κάποιο τρόπο μπορεί.
Ισχύει το εξής:
Αν $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
είναι μια συνάρτηση ώστε
$f''(x)\geq 0,x\in (a,b)$
τότε
$\int_{a}^{b}f(x)dx\geq (b-a)f(\frac{a+b}{2})$

Το παραπάνω μπορει να αποδειχθεί με σχολικά μέσα.

Εχουμε ότι
$(xf(x)-\frac{1}{2}x^{2})''\geq 0$
Αν λοιπόν θέσουμε
$g(x)=xf(x)-\frac{1}{2}x^{2}$
τότε λόγω του παραπάνω είναι
$\int_{-1}^{1}g(x)dx\geq 2g(0)=0$
που δίνει την ζητούμενη.

Να σημειώσω ότι κατά την γνώμη μου η ενδεδειγμένη λύση είναι του Δημήτρη.
Η δική μου περιέχει ακροβατικά που δεν φαίνονται.
Και φυσικά υπάρχουν προβλήματα του τύπου αν απειρίζεται στα άκρα τι γίνεται κλπ.
Η ουσία είναι ότι η άσκηση μπορεί αν διατυπωθεί κατάλληλα να αποδειχθεί
με καθαρά σχολικά μέσα.
Αυτό βέβαια δεν λέει τίποτα γιατί ερευνητικές εργασίες που λύνουν άλυτα προβλήματα
των Μαθηματικών στηρίζονται μόνο σε σχολικά μέσα.
Σε καμία περίπτωση όμως δεν είναι στο πνεύμα των σχολικών Μαθηματικών.

#7

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2019 11:16 am
Από Θεώρημα Taylor για κάθε υπάρχει $\xi$ μεταξύ του και του ώστε $\displaystyle g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(\xi) \frac{x^2}{2}.$

Το κύριο μη σχολικό κομμάτι της απόδειξης είναι το πιο πάνω. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί σχολικά ως εξής:

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h:[0,x] \to \mathbb{R}$ με τύπο $\displaystyle h(t) = g(0) + g'(0)t + \frac{g(x) - g(0) - g'(0)x}{x^2} t^2 - g(t).$

Είναι άμεσο ότι η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με h(0) = h'(0) = 0

και

. [H

κατασκευάστηκε ώστε να είναι της μορφής h(t) = p(t) - g(t)

με

δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ώστε να ισχύουν τα προηγούμενα.]

Αφού h(0) = h(x) = 0

υπάρχει $\xi_1 \in (0,x)$ ώστε $h'(\xi_1) = 0$ . Τώρα, αφού επίσης h'(0) = 0

, υπάρχει $\xi \in (0,\xi_1)$ ώστε $h''(\xi) = 0$ . Τότε μετά από πράξεις παίρνουμε $\displaystyle g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(\xi) \frac{x^2}{2}.$

IMC 2019/1/3

IMC 2019/1/3

Re: IMC 2019/1/3

Re: IMC 2019/1/3

Re: IMC 2019/1/3

Re: IMC 2019/1/3

Re: IMC 2019/1/3

Re: IMC 2019/1/3

Μέλη σε σύνδεση