IMC 2019/1/4
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2019/1/4
Ορίζουμε την ακολουθία με την ακόλουθη αναδρομική σχέση:
και για .
Να αποδειχθεί ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ακέραιοι.
και για .
Να αποδειχθεί ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ακέραιοι.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: IMC 2019/1/4
Θα δουλέψουμε με τη γεννήτρια συνάρτηση . Κάνουμε τις αντικαταστάσεις
με και μετατρέπουμε την αναδρομική σχέση στη διαφορική εξίσωση
Δουλεύοντας με την έχουμε .
Η διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται σχετικά εύκολα στη λύση
Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε ότι η σειρά Maclaurin της , πέρα από τους δύο πρώτους όρους, είναι ακέραια. Από το γεγονός ότι το τετράγωνό της είναι και ο πρώτος όρος της , εύκολα βλέπουμε ότι ο δεύτερος όρος της είναι και οι υπόλοιποι όροι (για τους οποίους ισχύει ) πληρούν την αναδρομική συνθήκη . Έτσι, είναι όλοι ακέραιοι.
Σημ.: Ανακάλυψα ότι η ακολουθία έχει όνομα, λέγονται αριθμοί Schröder (ξαδέρφια των αριθμών Catalan) και έχουν εφαρμογές στη συνδυαστική, μεταξύ των άλλων.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες