IMC 2019/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2019/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 03, 2019 1:46 pm

Έστω C = \{4, 6, 8, 9, 10, \ldots\} το σύνολο των σύνθετων αριθμών. Για κάθε n \in C έστω a_n ο ελάχιστος θετικός ακέραιος k ώστε το k! να διαιρείται με το n. Να εξεταστεί αν η ακόλουθη σειρά συγκλίνει:

\displaystyle  \sum_{n \in C} \left( \frac{a_n}{n} \right)^n



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Αύγ 05, 2019 11:01 am

Αρκεί να δείξουμε ότι a_n \leqslant \frac{n}{2} για n \geqslant 10 με n \in C αφού τότε η σειρά θα συγκλίνει συγκρίνοντας με το άθροισμα γεωμετρικής προόδου.

Έστω λοιπόν p|n και έστω n = p^k m όπου (m,p)=1. Αρκεί να δείξουμε ότι η μεγαλύτερη δύναμη του p η οποία διαιρεί τον \left( \lfloor \tfrac{n}{2} \rfloor\right) είναι τουλάχιστον k.

Αν m > 1, τότε η μεγαλύτερη δύναμη του p η οποία διαιρεί το p^k \leqslant \frac{n}{2} ισούται με 1 + p + p^2 + \cdots + p^{k-1} \geqslant k.

Αν m = 1, τότε πρέπει k \geqslant 2 αφού n σύνθετος. Αν k \geqslant 3 τότε η μεγαλύτερη δύναμη του p η οποία διαιρεί το p^{k-1} \leqslant \frac{n}{2} ισούται με 1 + p + p^2 + \cdots + p^{k-2} \geqslant p + (k-2) \geqslant k. Αν k=2 τότε n = p^2 και a_n = 2p \geqslant \frac{n}{2} εκτός και αν p \leqslant 3. Τότε όμως είναι και n \leqslant 3^2 = 9.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2019/2/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 05, 2019 1:47 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Αύγ 05, 2019 11:01 am
Αρκεί να δείξουμε ότι a_n \leqslant \frac{n}{2} για n \geqslant 10 με n \in C αφού τότε η σειρά θα συγκλίνει συγκρίνοντας με το άθροισμα γεωμετρικής προόδου.
Αρκεί να δείξουμε ότι το n διαιρεί το (\frac{n}{2})!

Αλλά n=2m οπότε αρκεί να δείξουμε ότι

το 2m διαιρεί το m!

που τετριμμένα ισχύει για m>2.

Χάνω κάτι Δημήτρη;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019/2/2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Αύγ 05, 2019 5:38 pm

Σταύρο, στην περίπτωση όπου ο n = 2m+1 είναι περιττός ισχυρίζομαι ότι το 2m+1 διαιρεί το m! (για m μεγάλο και 2m+1 όχι πρώτο) το οποίο αν και απλό νομίζω δεν είναι εντελώς προφανές.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2019/2/2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 05, 2019 7:49 pm

Διορθώνω την προηγούμενη απόδειξη μου.
Οπως και ο Δημήτρης
αρκεί να δείξουμε ότι a_n \leqslant \frac{n}{2} για n \geqslant 10 με n \in C αφού τότε η σειρά θα συγκλίνει συγκρίνοντας με το άθροισμα γεωμετρικής προόδου.

Εστω n\in C,n\geq 9

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις.

1)n=mr,1< r< m

Τότε το n διαιρεί το m!

Ετσι a_{n}\leq m=\frac{n}{r}\leq \frac{n}{2}

2)n=p^{2} με τον p πρώτο.

Τότε το n διαιρεί το (2p)!

Ετσι a_{n}\leq 2p\leq \frac{p^{2}}{2}=\frac{n}{2}

αφού θα είναι p>4.

σημείωση.
Στην αρχική απόδειξη μου την πάτησα γιατί δεν είχα διαβάσει προσεκτικά την εκφώνηση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης