IMC 2019/2/2

#1

Έστω $C = \{4, 6, 8, 9, 10, \ldots\}$ το σύνολο των σύνθετων αριθμών. Για κάθε $n \in C$ έστω a_n

ο ελάχιστος θετικός ακέραιος

ώστε το

να διαιρείται με το

. Να εξεταστεί αν η ακόλουθη σειρά συγκλίνει:

$\displaystyle \sum_{n \in C} \left( \frac{a_n}{n} \right)^n$

#2

Αρκεί να δείξουμε ότι $a_n \leqslant \frac{n}{2}$ για $n \geqslant 10$ με $n \in C$ αφού τότε η σειρά θα συγκλίνει συγκρίνοντας με το άθροισμα γεωμετρικής προόδου.

Έστω λοιπόν p|n

και έστω

όπου

. Αρκεί να δείξουμε ότι η μεγαλύτερη δύναμη του

η οποία διαιρεί τον $\left( \lfloor \tfrac{n}{2} \rfloor\right)$ είναι τουλάχιστον

.

Αν

, τότε η μεγαλύτερη δύναμη του

η οποία διαιρεί το $p^k \leqslant \frac{n}{2}$ ισούται με $1 + p + p^2 + \cdots + p^{k-1} \geqslant k$ .

Αν m = 1

, τότε πρέπει $k \geqslant 2$ αφού

σύνθετος. Αν $k \geqslant 3$ τότε η μεγαλύτερη δύναμη του

η οποία διαιρεί το $p^{k-1} \leqslant \frac{n}{2}$ ισούται με $1 + p + p^2 + \cdots + p^{k-2} \geqslant p + (k-2) \geqslant k$ . Αν k=2

τότε

και $a_n = 2p \geqslant \frac{n}{2}$ εκτός και αν $p \leqslant 3$ . Τότε όμως είναι και $n \leqslant 3^2 = 9$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2019 11:01 am
Αρκεί να δείξουμε ότι $a_n \leqslant \frac{n}{2}$ για $n \geqslant 10$ με $n \in C$ αφού τότε η σειρά θα συγκλίνει συγκρίνοντας με το άθροισμα γεωμετρικής προόδου.

Αρκεί να δείξουμε ότι το

διαιρεί το $(\frac{n}{2})!$

Αλλά n=2m

οπότε αρκεί να δείξουμε ότι

το

διαιρεί το

που τετριμμένα ισχύει για m>2

.

Χάνω κάτι Δημήτρη;

#4

Σταύρο, στην περίπτωση όπου ο n = 2m+1

είναι περιττός ισχυρίζομαι ότι το 2m+1

διαιρεί το

(για

μεγάλο και 2m+1

όχι πρώτο) το οποίο αν και απλό νομίζω δεν είναι εντελώς προφανές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Διορθώνω την προηγούμενη απόδειξη μου.
Οπως και ο Δημήτρης
αρκεί να δείξουμε ότι $a_n \leqslant \frac{n}{2}$ για $n \geqslant 10$ με $n \in C$ αφού τότε η σειρά θα συγκλίνει συγκρίνοντας με το άθροισμα γεωμετρικής προόδου.

Εστω $n\in C,n\geq 9$

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις.

1) n=mr,1< r< m

Τότε το

διαιρεί το

Ετσι $a_{n}\leq m=\frac{n}{r}\leq \frac{n}{2}$

2) $n=p^{2}$ με τον

πρώτο.

Τότε το

διαιρεί το (2p)!

Ετσι $a_{n}\leq 2p\leq \frac{p^{2}}{2}=\frac{n}{2}$

αφού θα είναι p>4

.

σημείωση.
Στην αρχική απόδειξη μου την πάτησα γιατί δεν είχα διαβάσει προσεκτικά την εκφώνηση.

IMC 2019/2/2

IMC 2019/2/2

Re: IMC 2019/2/2

Re: IMC 2019/2/2

Re: IMC 2019/2/2

Re: IMC 2019/2/2

Μέλη σε σύνδεση