IMC 2019/2/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2019/2/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 03, 2019 5:18 pm

Να προσδιοριστούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί και αντιστρέψιμοι n\times n πίνακες A,B ώστε AB - BA = B^2A.



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 179
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: IMC 2019/2/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Δευ Αύγ 05, 2019 2:54 am

Demetres έγραψε:
Σάβ Αύγ 03, 2019 5:18 pm
Να προσδιοριστούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί και αντιστρέψιμοι n\times n πίνακες A,B ώστε AB - BA = B^2A.
Βρήκα χρόνο, οπότε βάζω την λύση μου στο θέμα.Πολλαπλασιάζοντας την δοσμένη με A^{-1} έχουμε:

\displaystyle{B-A^{-1}BA=A^{-1}B^{2}A\Leftrightarrow B=A^{-1}(B+B^{2})A}

Δηλαδή, ο πίνακας B είναι όμοιος με τον B+B^{2}.Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση όπου ο n είναι περιττός, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του B είναι περιττού βαθμού, επομένως έχει πραγματική ρίζα, έστω \lambda .Ορίζουμε ακολουθία ως εξής:

\displaystyle{a_{1}=\lambda , a_{n+1}=f(a_{n}), f(x)=x^{2}+x}

Από την παραπάνω ομοιότητα έπεται ότι κάθε όρος της ακολουθίας είναι ιδιοτιμή του πίνακα B.Όμως, η ακολουθία αυξάνει, και μάλιστα γνησίως, αφού κάθε όρος της είναι μη μηδενικός,αφού ο B αντιστρέψιμος, άρα δεν έχει μηδενική ιδιοτιμή και προφανώς: x^{2}+x>x για x διάφορο του μηδενός.

Όμως, αφού κάθε όρος είναι ιδιοτιμή του πίνακα, μπορεί να λάβει η ακολουθία το πολύ n διακεκριμένες τιμές, ενώ αφού είναι γνήσια αύξουσα κάθε όρος της είναι διαφορετικός, άτοπο.Άρα δεν υπάρχουν τέτοιοι πίνακες.

Για να κατασκευάσουμε τέτοιους πίνακες για n άρτιο, πάλι η βασική παρατήρηση είναι η ομοιότητα, κοιτάμε την περίπτωση για n=2, οι ιδιοτιμές πρέπει να είναι μιγαδικές και άρα συζυγείς αφού ο πίνακας B είναι πραγματικός, προκύπτει λοιπόν η εξίσωση:

\displaystyle{(a+bi)^{2}+(a+bi)=a-bi}

λύνοντας το σύστημα, βλέπουμε πως οι ιδιοτιμές είναι:

\displaystyle{\lambda_{1}=-1+i, \lambda_{2}=-1-i}

Κατασκευάζοντας πίνακα με αυτές τις ιδιοτιμές διάστασης 2 καταλήγουμε στον:

B=\begin{pmatrix} 
-1 & 1\\  
-1 & -1 
\end{pmatrix}

Βρίσκουμε πίνακα ομοιότητας, επαληθεύουμε (αφού δεν είναι βέβαιο το ότι θα είναι όντως όμοιοι και ας έχουν ίδιες ιδιοτιμές) και βρίσκουμε τέτοιον A.

Η γενική περίπτωση για n άρτιο προκύπτει παίρνοντας block διαγώνιους πίνακες με τους αντίστοιχους A και B στην διαγώνιο και καταλήγουμε πως για κάθε n άρτιο υπάρχουν τέτοιοι πίνακες.

Σχόλιο: επειδή αναφέρθηκε πως το θέμα ήταν ιδιαίτερα εύκολο για τον διαγωνισμό, νομίζω πως ήταν αρκετά δύσκολο να αποσπάσεις όλες τις μονάδες έχοντας ήδη ασχοληθεί προηγουμένως με τα πρώτα της ημέρας και σε διαγωνιστικές συνθήκες.Φαίνεται εύκολο αν δεις την επίσημη λύση, χωρίς να την πιάσεις με χαρτί και μολύβι, όπου πετάει απευθείας τον πίνακα και όλα τα επιχειρήματα που χρειάζονται.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2019/2/4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 05, 2019 8:05 pm

sot arm έγραψε:
Δευ Αύγ 05, 2019 2:54 am

Κατασκευάζοντας πίνακα με αυτές τις ιδιοτιμές διάστασης 2 καταλήγουμε στον:

B=\begin{pmatrix} 
-1 & 1\\  
-1 & -1 
\end{pmatrix}

Βρίσκουμε πίνακα ομοιότητας, επαληθεύουμε (αφού δεν είναι βέβαιο το ότι θα είναι όντως όμοιοι και ας έχουν ίδιες ιδιοτιμές) και βρίσκουμε τέτοιον A.
Σωτήρη δεν χρειάζεται να επαληθεύσεις ότι είναι όμοιοι.
Επειδή είναι διάστασης 2 με τις ίδιες μιγαδικές ιδιοτιμές(μη πραγματικές)
αναγκαστικά θα είναι όμοιοι.
Εφόσον λέει υπάρχουν δεν νομίζω ότι πρέπει να βρεις τον A

https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης