Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα

Συντονιστής: Demetres

ChrP
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 31, 2019 2:08 am

Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ChrP » Παρ Νοέμ 08, 2019 1:13 am

Χαιρετε παιδια !!(ΕΙμαι καινουργιος στην παρεα σας :D )...Λυνοντας μια ασκηση δυναμης πινακων που ειναι πρεπει να ΄μαντεψεις΄τον τυπο και υστερα με επαγωγη να τον αποδειξεις ,δεδομενο της φυσης της μου φανηκε δυσκολο το να το 'μαντεψω' και γιαυτο σκεφτηκα ενα τροπο ωστε να μπορεσω να το υπολογισω και μετα να το αποδειξω επαγωγηκα
1)Το ανεβαζω σε φωτογραφια διοτι ειμαι νεος στο latex και με δυσκολοψε να το χειριστω στο σιτε γιαυτο το εκανα στο προγραμμα του
2) Το εγραψα στα αγγλικα γιατι το latex δεν αναγνωριζε τα ελληνικα (δεν ξερω γιατι)
3)Το ανεβαζω στους διαγωνισμους για φοιτητες γιατι ειναι ασκηση που συναντησα και στο putnam and beyong αλλα και στις ασκησεις του κ.αθανασιαδη
Τι πιστευτε ειναι σωστος ο τροπος σκεψης ή υπαρχει καποιο λαθος ? Γιατι πιστευω παρομοια τεχνικη μπορει να χρησιμοποιηθει σε υπολογισμο πινακων οπου υπαρχει ενα μοτιβο
sadf.pdf
(87.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 33 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 08, 2019 1:24 am

Νομίζω ότι η ιδέα σου είναι σωστή.
(δεν έλεγξα τις πράξεις)

η κλασσική λύση είναι η εξής.

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι
το (x-1)^{n}
Για k>n-1 είναι x^{k}=(x-1)^{n}q(x)+p(x)
Οπου p(x) πολυώνυμο βαθμού μικροτέρου του n και υπάρχει τρόπος
να υπολογισθεί.
Ετσι A^{k}=p(A)
και χρειάζεται να υπολογίσουμε μόνο τα A^{2},A^{3},...A^{n-1}

Εδω όμως μπορούμε να δουλέψουμε και ως εξής.
Είναι A-I=K με K^{m}=0,m\geq n
Ετσι (A-I)^{m}=0,m\geq n
Αναπτύσοντας και χρησιμοποιώντας αναδρομικές σχέσεις μπορούμε πιστεύω να βρούμε τις δυνάμεις
του πίνακα.

Να ξεκαθαρίσω ότι τα παραπάνω αποτέλουν περιγραφή πιθανών λύσεων.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 08, 2019 10:37 am

ChrP καλωσόρισες στο :logo:

Δίνω κάποια επιπλέον βοήθεια για το latex.

1) Στο :logo: γράφουμε μόνο τα μαθηματικά στο latex ανάμεσα σε δολάρια. Τα ελληνικά τα γράφουμε εκτός δολλαρίων. Τους τύπους ήδη τους έχεις έτοιμους οπότε στους περισσότερους δεν πρέπει να δυσκολευτείς. Αν θες μπορείς να κάνεις και κάποιες δοκιμές εδώ. Αν εξακολουθεί να υπάρχει δυσκολία πες μας.

2) Για ελληνικά σε latex στον υπολογιστή εγώ αντί latex χρησιμοποιώ το xelatex. Δίνω ένα σχετικό κομμάτι από το preamble που χρησιμοποιώ για να κάνεις δοκιμές. Θα πρέπει στο τέλος να το τρέξεις με xelatex αντί με pdflatex.
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\geometry{a4paper}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{fontspec,xltxtra,xunicode,xgreek}
\setmainfont{GFS Didot} %Εδώ βάζεις όποια γραμματοσειρά θέλεις αρκεί να βρίσκεται στη font library του υπολογιστή σου.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 08, 2019 10:47 am

Δίνω μια άλλη προσέγγιση:

Παρατηρώ ότι A = I + J + J^2 + \cdots + J^{n-1} όπου με J συμβολίζω των πίνακα με άσσους στη διαγώνιο ακριβώς πάνω από την κύρια διαγώνιο και μηδενικά σε όλες τις άλλες θέσεις. Είναι J^r = 0 για r \geqslant 0.

Άρα A_m = a_0I + a_1J + a_2J^2 + \cdots + a_nJ^{n-1} όπου a_k είναι το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορώ να γράψω k = x_1 + \cdots + x_m όπου x_1,\ldots,x_m είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Είναι γνωστό, ότι αυτό το πλήθος ισούται με \binom{m+k-1}{m-1}.

Διαφωνούμε στην τελική απάντηση διότι έκανες λάνθασμένα το ανάπτυγμα του 1/(1-x)^m. Αυτό που έγραψες είναι του 1/(1-x)^{m+1}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες