Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Συντονιστής: Demetres

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 28, 2019 6:27 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f,g: [0, \infty ) \longrightarrow (0, \infty) αν για κάθε x>0 ισχύει \displaystyle{ \int_0^x f(t)\,dt =\dfrac {1}{g(x)} } και \displaystyle{ \int_0^x g(t)\,dt= \dfrac {1}{f(x)} }.

(Για να λυθεί αρκούν οι γνώσεις Λυκείου. Με μικρές υποδείξεις θα έκανε για Θέμα 4 στις Πανελλαδικές. Την τοποθετώ στον φάκελο των Διαγωνισμών για φοιτητές όχι γιατί είναι ιδιαίτερα δύσκολη αλλά επειδή έχει δυό τρία βήματα.)



Λέξεις Κλειδιά:
panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm

Οι συναρτήσεις \int_{0}^{x}f(t)dt και \int_{0}^{x}g(t)dt εξ ορισμού είναι παραγωγίσιμες οπότε οι συναρτήσεις f και

g είναι παραγωγίσιμες.

Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)} (1) και g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)} (2)



Με παραγώγιση της (2) προκύπτει ότι g'(x)=\frac{2[f'(x)]^2-f(x)f''(x)}{f^3(x)} (3).

Αντικαθιστώντας τις (2),(3) στην (1) έχουμε (μετά από πράξεις) ότι [\frac{f'(x)}{f(x)}]'=2[\frac{f'(x)}{f(x)}]^2\Rightarrow K'(x)=2K^2(x) (4)

όπου K(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}.

(4)\Rightarrow K(x)=\frac{1}{-2x+a}.

Άρα lnf(x)=-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b\Rightarrow f(x)=e^{-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b} και τα υπόλοιπα έπονται.


'Ο Αϊνστάιν είπε πως ο θεός δεν παίζει ζάρια. Εγώ δεν πιστεύω μόνο ότι παίζει αλλά ότι δεν ξέρει και που τα ρίχνει'.
Στίβεν Χόκινγκ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 29, 2019 3:07 pm

:10sta10:

Μικρή παραλλαγή για λίγο λιγότερες πράξεις, από την
panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)} (1) και g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)} (2)
έχουμε \displaystyle{\frac{f'(x)}{(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}}. Ολοκληρώνονταw και διώχνοντας τον λογάριθμο παίρνουμε f(x)=kg(x) για κάποιο k>0. Βάζοντας αυτήν πίσω στη (2) παίρνουμε f'=-kf^3 και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Θα βγει μετά τις απλοποιήσεις ότι f(x)=\dfrac {k}{\sqrt {2kx+c}} και άρα g(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2kx+c} }


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 29, 2019 7:07 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Οι συναρτήσεις \int_{0}^{x}f(t)dt και \int_{0}^{x}g(t)dt εξ ορισμού είναι παραγωγίσιμες οπότε οι συναρτήσεις f και

g είναι παραγωγίσιμες.

Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)} (1) και g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)} (2)



Με παραγώγιση της (2) προκύπτει ότι g'(x)=\frac{2[f'(x)]^2-f(x)f''(x)}{f^3(x)} (3).

Αντικαθιστώντας τις (2),(3) στην (1) έχουμε (μετά από πράξεις) ότι [\frac{f'(x)}{f(x)}]'=2[\frac{f'(x)}{f(x)}]^2\Rightarrow K'(x)=2K^2(x) (4)

όπου K(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}.

(4)\Rightarrow K(x)=\frac{1}{-2x+a}.

Άρα lnf(x)=-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b\Rightarrow f(x)=e^{-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b} και τα υπόλοιπα έπονται.
Παναγιώτη Χρόνια Πολλά.
Υπάρχουν δύο σημεία που μπάζουν στην λύση σου.

1)
panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Οι συναρτήσεις \int_{0}^{x}f(t)dt και \int_{0}^{x}g(t)dt εξ ορισμού είναι παραγωγίσιμες.
Δεν έχει δοθεί ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι είναι ολοκληρώσιμες σε κάθε διάστημα του [0,\infty ).
Φυσικά μπορεί κάποιος να αποδείξει ότι στο (0,\infty)είναι όσες φορές θέλουμε παραγωγίσημες.Αυτό βέβαια είναι εκτός σχολικής ύλης.Το ολοκλήρωμα δεν παίζει ρόλο αν είναι
Riemann η Lebesgue


2)
panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Άρα lnf(x)=-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b\Rightarrow f(x)=e^{-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b} και τα υπόλοιπα έπονται.
Δηλαδή τα a,b είναι οποιαδήποτε;
Και πώς γνωρίζεις ότι ικανοποιούν τις αρχικές σχέσεις;
Πρέπει να γίνει επαλήθευση .
Και σίγουρα υπάρχει τυπογραφικό γιατί το θετικό x μέσα στον λογάριθμο
είναι με -2 μπροστά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 29, 2019 7:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 3:07 pm
:10sta10:

Μικρή παραλλαγή για λίγο λιγότερες πράξεις, από την
panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)} (1) και g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)} (2)
έχουμε \displaystyle{\frac{f'(x)}{(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}}. Ολοκληρώνονταw και διώχνοντας τον λογάριθμο παίρνουμε f(x)=kg(x) για κάποιο k>0. Βάζοντας αυτήν πίσω στη (2) παίρνουμε f'=-kf^3 και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Θα βγει μετά τις απλοποιήσεις ότι f(x)=\dfrac {k}{\sqrt {2kx+c}} και άρα g(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2kx+c} }
Μιχάλη Χρόνια Πολλά.
Το c της λύσης σου δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε.
Το αφήνω να το βρει ο Παναγιώτης.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 29, 2019 7:32 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 7:07 pm

Δεν έχει δοθεί ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
Σωστά. Παράληψή μου αφού έγραψα ότι λύνεται με γνώσεις Λυκείου. Ευτυχώς σώζεται.

Ευχαριστώ για την επισήμανση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες