Ολοκλήρωμα με δεκαδικό μέρος

Tolaso J Kos · #1

Έστω

και $d = \gcd(a, b)$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left(\{ax\}-\frac{1}{2}\right)\left(\{bx\}-\frac{1}{2} \right) \, \mathrm{d}x=\frac{d^2}{12ab} }$

Tolaso J Kos · #2

Πρόκειται για ειδική περίπτωση των ολοκληρωμάτων Franel. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $a \leq b$ . Ορίζουμε

$\displaystyle{(\!(x)\!) = \left\{\begin{matrix} x - \frac{1}{2} & , & x \notin \mathbb{Z} \\ 0 & , & x \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. = -\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin 2n\pi x}{n\pi}}$
Έπεται από το θεώρημα Parseval ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \left ( \!\left ( ax \right ) \!\right ) \left ( \!\left ( bx \right ) \!\right )\, \mathrm{d}x &=\frac{1}{2 \pi^2} \sum_{\substack{m,n>0 \\am=bn}}\frac{1}{mn} \\ &= \frac{1}{2\pi^2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( \frac{bk}{d} \right ) \cdot \left ( \frac{ak}{d} \right )} \\ &=\frac{d^2}{12 ab} \end{aligned}}$
Η ισότητα am = bn

ισχύει αν και μόνο αν $m=\frac{bk}{d}$ και $n = \frac{ak}{d}$ , όπου $d = \gcd(a, b)$ .

Tolaso J Kos · #3

Η ίδια τεχνική δείχνει και το επόμενο αποτέλεσμα:

$\displaystyle{\int_0^1 \left(\{ax\}-\frac{1}{2}\right)^2\left(\{bx\}-\frac{1}{2}\right)^2 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{144}+\frac{d^4}{180a^2b^2}}$

Ολοκλήρωμα με δεκαδικό μέρος

Ολοκλήρωμα με δεκαδικό μέρος

Re: Ολοκλήρωμα με δεκαδικό μέρος

Re: Ολοκλήρωμα με δεκαδικό μέρος

Μέλη σε σύνδεση