IMC 2020/2/5
Συντονιστής: Demetres
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
IMC 2020/2/5
Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις
που για κάθε στο
ικανοποιούν την
που για κάθε στο
ικανοποιούν την
Λέξεις Κλειδιά:
Re: IMC 2020/2/5
Βάζω την λύση που έκανα στον διαγωνισμό. Αρχικά από την δοσμένη η βγαίνει άμεσα αύξουσα. Έστω πως υπάρχει κάποιο με . Τότε είναι . Ορίζουμε την συνάρτηση:
.
Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την δοσμένη παραγωγίζοντας την προκύπτει φθίνουσα, συνεπώς :
Επειδή το πηλίκο είναι θετικό στο πεδίο ορισμού της από υπόθεση και τις παρατηρήσεις στην αρχή για αρκετά μεγάλο η προηγούμενη σχέση δίνει άτοπο, άρα δεν υπάρχει τέτοιο . Ομοίως αν υπάρχει με ορίζω πάλι την ίδια για προκύπτει με παρόμοιο επιχείρημα με πριν άτοπο. Άρα οι συναρτήσεις που ικανοποιούν είναι μόνο οι σταθερές θετικές.
.
Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την δοσμένη παραγωγίζοντας την προκύπτει φθίνουσα, συνεπώς :
Επειδή το πηλίκο είναι θετικό στο πεδίο ορισμού της από υπόθεση και τις παρατηρήσεις στην αρχή για αρκετά μεγάλο η προηγούμενη σχέση δίνει άτοπο, άρα δεν υπάρχει τέτοιο . Ομοίως αν υπάρχει με ορίζω πάλι την ίδια για προκύπτει με παρόμοιο επιχείρημα με πριν άτοπο. Άρα οι συναρτήσεις που ικανοποιούν είναι μόνο οι σταθερές θετικές.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: IMC 2020/2/5
Η δοσμένη σχέση γράφεται
Θέτουμε
που ικανοποιεί την
(1)
οπότε είναι αύξουσα.
Αρα υπάρχουν τα όρια
Δεν μπορεί κάποιο από τα να είναι πραγματικός μη μηδενικός.
π,χ αν ο είναι μη μηδενικός πραγματικός τότε επειδή
παίρνοντας όρια έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αν τότε και η σταθερή.
Διαφορετικά κάποιο θα είναι άπειρο .
Εστω
Τότε για
Η (1) γράφεται για
δηλαδή
(2)
για
Παίρνοντας στην (2)
έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αρα και η είναι σταθερή.
Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάζεται η υπόθεση ότι το σύνολο τιμών είναι
το
Η εκφώνηση θα μπορούσε να είναι
Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις
που για κάθε στο
ικανοποιούν την
Πάλι είναι οι σταθερές.
Αν δεν προλάβει κάποιος θα βάλω λύση και σε αυτό το πρόβλημα.
Θέτουμε
που ικανοποιεί την
(1)
οπότε είναι αύξουσα.
Αρα υπάρχουν τα όρια
Δεν μπορεί κάποιο από τα να είναι πραγματικός μη μηδενικός.
π,χ αν ο είναι μη μηδενικός πραγματικός τότε επειδή
παίρνοντας όρια έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αν τότε και η σταθερή.
Διαφορετικά κάποιο θα είναι άπειρο .
Εστω
Τότε για
Η (1) γράφεται για
δηλαδή
(2)
για
Παίρνοντας στην (2)
έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αρα και η είναι σταθερή.
Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάζεται η υπόθεση ότι το σύνολο τιμών είναι
το
Η εκφώνηση θα μπορούσε να είναι
Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις
που για κάθε στο
ικανοποιούν την
Πάλι είναι οι σταθερές.
Αν δεν προλάβει κάποιος θα βάλω λύση και σε αυτό το πρόβλημα.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: IMC 2020/2/5
Για να δούμε την λύση.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 02, 2020 9:42 pm
Η εκφώνηση θα μπορούσε να είναι
Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις
που για κάθε στο
ικανοποιούν την
Πάλι είναι οι σταθερές.
Όταν αναφέρω προηγούμενη περίπτωση εννοώ την λύση που έκανα όταν το πεδίο τιμών
της είναι το
Αν η δεν είναι ταυτοτικά μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σύνολο
είναι μη κενό.
Αν είναι η προηγούμενη περίπτωση.
Παρατηρούμε ότι δεν μπορει να είναι
για και όταν .
Αλλά το είναι ανοικτό όπότε αναγκαστικά ένα από τα ανοικτά διαστήματα που το απαρτίζουν θα είναι
το η το .
Θα καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ
Ας δούμε την (το άλλο είναι όμοιο)
Είναι και για
Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση ορίζουμε την για
To
υπάρχει και καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ αν δεν είναι
Αν
τότε επειδή είναι αύξουσα θα έχουμε
για
Αν για
τότε για που δίνει ΑΤΟΠΟ αφού .
Αν υπάρχει με
τότε προκύπτει ότι για
και έχουμε ΑΤΟΠΟ αφού και για
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες