IMC 2020/2/5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις

$\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty )$

που για κάθε

στο $\mathbb{R}$
ικανοποιούν την

$\displaystyle f''(x)f(x)\geq 2(f'(x))^{2}$

sot arm · #2

Βάζω την λύση που έκανα στον διαγωνισμό. Αρχικά από την δοσμένη η

βγαίνει άμεσα αύξουσα. Έστω πως υπάρχει κάποιο $c \in \mathbb{R}$ με f'(c) > 0

. Τότε είναι $f'(x) >0, \forall x \geq c$ . Ορίζουμε την συνάρτηση:

$g(x) = \frac{f(x)} {f'(x)} + x, x \geq c$ .

Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την δοσμένη παραγωγίζοντας την

προκύπτει φθίνουσα, συνεπώς :

$g(x) \leq g(c), x \geq c$

Επειδή το πηλίκο $\frac{f(x)} {f'(x)}$ είναι θετικό στο πεδίο ορισμού της

από υπόθεση και τις παρατηρήσεις στην αρχή για

αρκετά μεγάλο η προηγούμενη σχέση δίνει άτοπο, άρα δεν υπάρχει τέτοιο

. Ομοίως αν υπάρχει

με

ορίζω πάλι την ίδια

για $x \leq c$ προκύπτει με παρόμοιο επιχείρημα με πριν άτοπο. Άρα οι συναρτήσεις που ικανοποιούν είναι μόνο οι σταθερές θετικές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Η δοσμένη σχέση γράφεται
$\displaystyle (\frac{f'(x)}{f(x)})'\geq (\frac{f'(x)}{f(x)})^{2}$
Θέτουμε
$\displaystyle h(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$
που ικανοποιεί την
$\displaystyle h'(x)\geq h^2(x)$ (1)
οπότε είναι αύξουσα.
Αρα υπάρχουν τα όρια
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }h(x)=a,\lim_{x\rightarrow \infty }h(x)=b$
Δεν μπορεί κάποιο από τα a,b

να είναι πραγματικός μη μηδενικός.
π,χ αν ο

είναι μη μηδενικός πραγματικός τότε επειδή
$\displaystyle f(n+1)-f(n)=f'(x_n)$
παίρνοντας όρια έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αν a=b=0

τότε

και η

σταθερή.
Διαφορετικά κάποιο θα είναι άπειρο .
Εστω $b=\infty$
Τότε h(x)>0

για

Η (1) γράφεται για x>c

$\displaystyle (-\frac{1}{h(x)}-x)'\geq 0$
δηλαδή
$\displaystyle -\frac{1}{h(x)}-x\geq -\frac{1}{h(c+1)}-(c+1)$ (2)
για x>c+1

Παίρνοντας $\displaystyle x\rightarrow \infty$ στην (2)
έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αρα a=b=0

και η

είναι σταθερή.

Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάζεται η υπόθεση ότι το σύνολο τιμών είναι
το $(0,\infty )$

Η εκφώνηση θα μπορούσε να είναι

Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις

$\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

που για κάθε

στο $\mathbb{R}$
ικανοποιούν την

$\displaystyle f''(x)f(x)\geq 2(f'(x))^{2}$

Πάλι είναι οι σταθερές.

Αν δεν προλάβει κάποιος θα βάλω λύση και σε αυτό το πρόβλημα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 02, 2020 9:42 pm

Η εκφώνηση θα μπορούσε να είναι

Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις

$\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

που για κάθε στο $\mathbb{R}$
ικανοποιούν την

$\displaystyle f''(x)f(x)\geq 2(f'(x))^{2}$

Πάλι είναι οι σταθερές.

Για να δούμε την λύση.
Όταν αναφέρω προηγούμενη περίπτωση εννοώ την λύση που έκανα όταν το πεδίο τιμών
της

είναι το $(0,\infty)$

Αν η

δεν είναι ταυτοτικά

μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σύνολο $A=\left \{ x:f(x)> 0 \right \}$
είναι μη κενό.
Αν $A=\mathbb{R}$ είναι η προηγούμενη περίπτωση.
Παρατηρούμε ότι δεν μπορει να είναι
f(a)=f(b)=0

για

και

όταν

.

Αλλά το

είναι ανοικτό όπότε αναγκαστικά ένα από τα ανοικτά διαστήματα που το απαρτίζουν θα είναι
το $(-\infty,x_1)$ η το $(x_1,\infty)$ .
Θα καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ

Ας δούμε την $(x_1,\infty)$ (το άλλο είναι όμοιο)

Είναι f(x_1)=0

και

για

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση ορίζουμε την h(x)

για

To $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }h(x)$
υπάρχει και καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ αν δεν είναι

Αν $\lim_{x\rightarrow \infty }h(x)=0$
τότε επειδή είναι αύξουσα θα έχουμε
$h(x)\leq 0$ για x>x_1

Αν

για

τότε

για

που δίνει ΑΤΟΠΟ αφού f(x_1)=0

.
Αν υπάρχει x_2

με

τότε προκύπτει ότι f'(x)<0

για

και έχουμε ΑΤΟΠΟ αφού f(x_1)=0

και

για

IMC 2020/2/5

IMC 2020/2/5

Re: IMC 2020/2/5

Re: IMC 2020/2/5

Re: IMC 2020/2/5

Μέλη σε σύνδεση