SEEMOUS 2021/1

#1

Έστω συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1\,.$

(α) Να δείξετε ότι η ακολουθία $(x_n)_{n \geqslant 1}$ η οποία ορίζεται ως

$\displaystyle x_n=f\left(\frac{1}{1}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) + \cdots + f\left(\frac{1}{n}\right)-\int_{1}^{n}f\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm{d}x$

συγκλίνει.

(β) Να βρείτε το όριο της ακολουθίας $(y_n)_{n \geqslant 1}$ η οποία ορίζεται ως

$\displaystyle y_{n}=f\left(\frac{1}{n+1}\right)+f\left(\frac{1}{n+2}\right)+ \cdots +f\left(\frac{1}{2021n}\right).$

Xriiiiistos · #2

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 22, 2021 9:51 am
Έστω συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1\,.$

(α) Να δείξετε ότι η ακολουθία $(x_n)_{n \geqslant 1}$ η οποία ορίζεται ως

$\displaystyle x_n=f\left(\frac{1}{1}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) + \cdots + f\left(\frac{1}{n}\right)-\int_{1}^{n}f\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm{d}x$

συγκλίνει.

(β) Να βρείτε το όριο της ακολουθίας $(y_n)_{n \geqslant 1}$ η οποία ορίζεται ως

$\displaystyle y_{n}=f\left(\frac{1}{n+1}\right)+f\left(\frac{1}{n+2}\right)+ \cdots +f\left(\frac{1}{2021n}\right).$

a)
$x_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}[f(1/k)-\int_{k}^{k+1}f(1/x)dx]+f(1/n)\geq \sum_{k=1}^{n-1}[f(1/k)-\int_{k}^{k+1}f(1/k)dx]+f(1/n)=$
=f(1/n)> 0

αλλιώς υπάρχει $n_{0}$ ακέραιος ώστε $f(1/n_{0})\leq 0$ και λόγο αύξουσας $f(x)\leq 0$ για x> 0

κοντά στο μηδέν άρα $\limsup_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)/x\leq 0$ άτοπο

$x_{n+1}-x_{n}=f(\frac{1}{n+1})-\int_{n}^{n+1}f(\frac{1}{x})dx\leq f(\frac{1}{n+1})-\int_{n}^{n+1}f(\frac{1}{n+1})dx=0$

άρα $x_{n}$ κάτω φραγμένη και φθίνουσα άρα συγκλίνει στο $l\in \mathbb{R}$ (1)

b)
$y_{n}=\sum_{k=1}^{2020n}f(\frac{1}{n+k})=x_{2021n}-x_{n}+\int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})dx$ (2)

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)}{x}=\lim_{u\rightarrow \propto }(f(\frac{1}{u})u)=1$

τυχαίο $\varepsilon >0$ τότε υπάρχει $N\in \mathbb{N}:\forall x\geq N\Rightarrow |f(\frac{1}{x})x-1|<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1-\varepsilon }{x}<f(1/x)<\frac{1+\varepsilon }{x}$

οπότε για $n\geq N$ έχουμε $\int_{n}^{2021n}\frac{1-\varepsilon }{x}dx\leq \int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})dx\leq \int_{n}^{2021n}\frac{1+\varepsilon }{x}dx \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (1-\varepsilon )ln2021\leq \int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})\leq (1+\varepsilon )ln2021$

και αφού $\varepsilon >0$ τυχαίο έχουμε $\lim_{n\rightarrow \propto }\int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})dx=ln2021$ (3)

από (1) (2) (3) έχουμε $\lim_{n\rightarrow \propto }y_{n}=ln2021$

SEEMOUS 2021/1

SEEMOUS 2021/1

Re: SEEMOUS 2021/1

Μέλη σε σύνδεση