Όριο ολοκληρώματος

dement · #1

Καλησπέρα, συνεχίζουμε με τα θέματα των Invariants.

Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^{2 \pi} \frac{x^3 (\ln x) \left(\cos(\sin(nx)) + \cos^2 (nx) \right)}{\sin(nx) \sin(\sin(nx))+1} \mathrm{d}x$

(Ελεγμένο, δεν υπάρχει τυπογραφικό!)

Λάμπρος Κατσάπας · #2

dement έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 25, 2022 10:37 pm
Καλησπέρα, συνεχίζουμε με τα θέματα των Invariants.

Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^{2 \pi} \frac{x^3 (\ln x) \left(\cos(\sin(nx)) + \cos^2 (nx) \right)}{\sin(nx) \sin(\sin(nx))+1} \mathrm{d}x$

(Ελεγμένο, δεν υπάρχει τυπογραφικό!)

Γράφουμε $f(x)=x^3\ln x, g(x)=\dfrac{\cos(\sin x)+\cos^2(x)}{\sin x \sin(\sin x)+1}$ και ζητάμε το όριο του

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}f(x)g(nx)dx}$ . Από γνωστό λήμμα (το έχουμε δει εδώ στο

) αν η

είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$

και $\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}g(x)dx=c}$ τότε

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }{\int_{0}^{2\pi}f(x)g(nx)dx}=c\int_{0}^{2\pi}f(x)dx.$

To $\displaystyle {\int_{0}^{2\pi}f(x)dx}$ είναι μια απλή παραγοντική και δίνει $4\pi^4ln(2\pi)-\pi^4.$

To

με ζόρισε. Είναι αλεξίσφαιρο (δεν το υπολογίζει αναλυτικά ούτε το wolpram). Τελικά κατάφερα να το υπολογίσω και κάνει

$2\pi.$ Τις πράξεις θα τις γράψω το απόγευμα γιατί πρέπει να φύγω για δουλειά.

Συνέχεια.... Λόγω του άσσου του παρονομαστή επιχειρούμε να γράψουμε την ολοκληρωτέα στην μορφή $\dfrac{au'}{1+u^2}$ για

κάποια σταθερά

και κάποια συνάρτηση

με $u(x)=\dfrac{k(x)}{l(x)}$ και έπειτα από πράξεις η ολοκληρωτέα

θα έχει τη μορφή $a\dfrac{{k}'(x)l(x)-k(x)l'(x)}{k^2(x)+l^2(x)}.$ Ξεκινάμε από τον παρονομαστή μήπως καταφέρουμε να τον γράψουμε σαν

άθροισμα τετραγώνων. Θα χρησιμοποιήσω τις γνωστές ταυτότητες

$\sin A \sin B=\dfrac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2},\sin^2A=\dfrac{1-\cos2A}{2},\cos^2A=\dfrac{1+\cos2A}{2}.$

Έχουμε λοιπόν:

$\sin x \sin (\sin x)+1=\dfrac{\cos(x-\sin x)-\cos(x+\sin x)}{2}+1$

$= \dfrac{1+\cos(x-\sin x)+1-\cos(x+\sin x)-2}{2}+1$

$=\cos^2\left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right )+\sin^2\left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right )$ .

Παίρνουμε

$k(x)=\cos\left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right ),l(x)=\sin\left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right )$ και τότε

$l^2(x)\left (\dfrac{k(x)}{l(x)} \right )' =$

$-\sin \left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right ) \dfrac{1-\cos x}{2}\sin \left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right )- \cos \left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right ) \dfrac{1+\cos x}{2} \cos \left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right )$

$= \dfrac{\cos x }{2} \left [\sin \left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right ) \sin \left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right )-\cos \left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right ) \cos \left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right ) \right ]$

$-\dfrac{1}{2}\left [\sin \left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right ) \sin \left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right ) +\cos \left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right ) \cos \left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right ) \right ].$

$=-\dfrac{1}{2}\left (\cos x \left [ \cos x \right ]+\left [\cos(\sin x) \right ] \right )=-\dfrac{1}{2}\left ( \cos^2x +\cos(\sin x)\right ).$

Τελικά

$-2\dfrac{u'(x)}{1+u^2(x)}=\dfrac{\cos (\sin x)+\cos^2(x)}{\sin x\sin(\sin x)}$ με $u(x)=\dfrac{\cos \left ( \dfrac{x-\sin x}{2} \right )}{\sin \left ( \dfrac{x+\sin x}{2} \right )}$

και ολοκληρώνοντας

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}-2\frac{u'(x)}{1+u^2(x)}dx=-2\arctan u(2\pi)+2\arctan u(0)=-2\dfrac{-\pi}{2}+2\dfrac{\pi}{2}=2\pi}$

με τη σύμβαση $\arctan u(2\pi):=\lim_{x\rightarrow 2\pi-}\arctan u(x), \arctan u(0):=\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan u(x).$

Κλείνοντας έχουμε ότι το ζητούμενο όριο ισούται με $2\pi\left (4\pi^4ln(2\pi)-\pi^4 \right ).$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Διατηρώ κάποιες επιφυλάξεις για το τελικό αποτέλεσμα. Θα επανέλθω.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Επανέρχομαι. Συμβαίνει το εξής αξιοπερίεργο με αυτό το πρόβλημα. Η τελικά τιμή που έδωσα βασιζόμενος στο λήμμα είναι

$2\pi \left ( 4\pi^4ln(2\pi)-\pi^4 \right )\approx 3887,37.$ Από την άλλη, βάζοντας τιμές στο

όπως

και δίνοντας εντολή στο WOLPHRAM να μου υπολογίσει το ζητούμενο ολοκλήρωμα παίρνω αποτέλεσμα $\approx 618,67$ τιμή αρκετά

μικρότερη από την υπολογισθείσα. Θα μπορούσαμε να το δικαιολογήσουμε αυτό με μια υποτιθέμενη αργή σύγκλιση. Εντούτοις το

618,67

δεν είναι καθόλου τυχαία τιμή στην οποία φρακάρει το WOLPHRAM. Είναι προσεγγιστική τιμή του

$\int_{0}^{2\pi}f(x)dx=\int_{0}^{2\pi}x^3\ln xdx.$

Πιθανότητα η λύση μου έχει κάποιο λάθος.

Ας επιληφθούν οι πολύ καλοί αναλύστες του

.

dement · #5

Λάμπρο, μια χαρά είναι η λύση σου. Απλά, στο αρχικό λήμμα, δεν μπαίνει το ολοκλήρωμα της περιοδικής συνάρτησης

$\displaystyle \int_0^{2\pi} g(x) \mathrm{d}x$

αλλά η μέση τιμή της

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(x) \mathrm{d}x$

Καλημέρα και συγχαρητήρια.

Όριο ολοκληρώματος

Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση