Όριο ακολουθίας

Συντονιστής: Demetres

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Όριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιουν 05, 2010 2:20 pm

Να υπολογισθεί το όριο

\displaystyle{\lim_{n\to \infty} e^{-n}\left(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots +\frac{n^n}{n!}\right)}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Όριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Σάβ Ιουν 05, 2010 3:18 pm

Αχιλλέα το όριο κάνει 0 μήπως αν όχι στείλε μου πμ να το σβήσω. Αλλιώς θα γράψω μια σκέψη.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Όριο ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Ιουν 05, 2010 3:28 pm

Εαν σπασω το οριο στα δυο μελη η παρανθεση δινει e^n αρα e^(-n)*e^(n)=1.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιουν 05, 2010 3:29 pm

Ελπίζω να μην έχω λάθος. Από το Λήμμα Cesaro έχουμε ότι αρκεί να βρούμε το όριο

\displaystyle{\frac{(n+1)^n}{e^n\cdot n!}=(\frac{n+1}{n})^n\frac{(\frac{n}{e})^n\cdot\sqrt{2n\pi}}{n!}\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}}

Οι πρώτοι δύο όροι είναι φραγμένοι, αφού ο πρώτος συγκίνει στο e και ο δεύτερος στο 1 (από Stirling), και η τρίτη είναι μηδενική άρα πάει στο 0


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Όριο ακολουθίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Σάβ Ιουν 05, 2010 3:31 pm

Εαν σπασω το οριο στα δυο μελη η παρανθεση δινει e^n αρα e^(-n)*e^(n)=1.
Η σειρά της παρένθεσης είναι η \displaystyle{\bf \sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{n!}} είσαι σίγουρος ότι κάνει \displaystyle{\bf e^{n}} για \displaystyle{\bf n\rightarrow +\infty}} ;


What's wrong with a Greek in Hamburg?
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:10 pm

Τώρα είδα τις απαντήσεις σας...το όριο δεν είναι ούτε 1 ούτε 0...

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακολουθίας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:14 pm



Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Όριο ακολουθίας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:15 pm

Απιστευτο επεσε ακριβως στην μεση των απαντησεων.Τι συμμετρια θεε μου..


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:17 pm

Tην πάτησα πανυγηρικά !! Αλλά μόλις είδα ότι και ο Αλέξανδρος είχε κανει το ίδιο λάθος.... Εντάξει μπορώ να πω ότι αισθάνομαι τις μισές τύψεις τώρα :wallbash:


Σιλουανός Μπραζιτίκος
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1067
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Τυχαίο; Δε νομίζω....!"

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:29 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:[1 νέος 18 χρονών θα πάρει σύνταξη στα 88! Όλα μαζί 11888. Τυχαίο; Δε νομίζω....!" ]
Αναστάση για μια ακόμη φορά έγραψες !!


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:36 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:εδώ
Δε γνώριζα ότι είχε ξαναπροταθεί...ας είναι...νομίζω ότι θα σας αποζημιώσω με την παρακάτω λύση (όχι δική μου)...

Θεωρούμε n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X_i (i=1,2,\dots,n) καθεμια από τις οποίες έχει την κατανομή Poisson με παράμετρο 1.

Τότε η S_n=\sum_{i=1}^n X_i έχει την καταnομή Poisson με παράμετρο n.

Επομένως,

\displaystyle{P(S_n\leq n)=e^{-n}\left(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots +\frac{n^n}{n!}\right)}.

Για μεγάλο n, από το central limit theorem, η κατανομή της S_n προσεγγίζει την κανονική κατανομή με μέση τιμή και διακύμανση n.

Συνεπώς, θα είναι

\displaystyle{\lim_{n\to \infty} P(S_n\leq n)=\frac{1}{2}}.

Το συμπέρασμα έπεται.

Σχόλια: (1) Το πρόβλημα τέθηκε στο The Mathematical Gazette to 1983. Πολλοί λύτες έστειλαν μια λύση παρόμοια με την παραπάνω! 'Αλλοι προτίμησαν μια πιο αναλυτική προσέγγιση.

(2) Μιά άλλη προσέγγιση συνδυάζει το Θεώρημα προσέγγισης του Taylor, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης και τον τύπο του Stirling.

(3) Ένας τρόπος υπολογισμού του παραπάνω ορίου από τον Ramanujan πάει πίσω ώς το 1911.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιουν 05, 2010 5:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακολουθίας

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:44 pm

smar έγραψε:Tην πάτησα πανυγηρικά !! Αλλά μόλις είδα ότι και ο Αλέξανδρος είχε κανει το ίδιο λάθος.... Εντάξει μπορώ να πω ότι αισθάνομαι τις μισές τύψεις τώρα :wallbash:
Σιλουανέ μήπως αντιγράφεις; :lol: Μάλλον και εγώ αντιγράφω :lol: Με πρόλαβε ο Αχιλλέας.

Έστω X_1,X_2,\ldots ανεξάρτητες κατανομές Poisson με παράμετρο 1.

Άρα κάθε X_ i έχει μέση τιμή 1 και τυπική απόκλιση 1. Είναι επίσης γνωστό ότι η Y_n = X_1 + \cdots + X_n είναι κατανομή Poisson με παράμετρο n.

Από το κεντρικό οριακό θεώρημα έχουμε

\displaystyle{ \frac{Y_n - n}{\sqrt{n}} = \frac{X_1 + \cdots + X_n - n}{\sqrt{n}} \to N(0,1)}

Άρα \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Pr((Y_n - n)/\sqrt{n} \leqslant 0) \to P(N \leqslant 0) = 1/2}

όπου N είναι κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1.

Αλλά \displaystyle{\Pr((Y_n - n)/\sqrt{n} \leqslant 0) = e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}. }

Άρα \displaystyle{ e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} \to \frac{1}{2}}


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιουν 05, 2010 4:56 pm

Demetres έγραψε: Σιλουανέ μήπως αντιγράφεις; :lol:
Δεν θα το ξανακάνω κύριε... :cry: Μη με μηδενίσετε...
Η λύση με τις πιαθανότητες είναι ΕΠΙΚΗ !!


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακολουθίας

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Ιουν 05, 2010 5:05 pm

Ρε παιδιά, το ξεφτυλίσατε το θέμα με τις πιθανότητες! Το πατήσατε καταγής!!! Αχιλλέα οι διαφορετικές λύσεις που λες είχαν σταλεί στο περιοδικό; Πώς μπορεί κανείς να έχει πρόσβαση σε αυτές;
math_finder έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:[1 νέος 18 χρονών θα πάρει σύνταξη στα 88! Όλα μαζί 11888. Τυχαίο; Δε νομίζω....!" ]
Αναστάση για μια ακόμη φορά έγραψες !!
Φοβερή ατάκα ε; :lol: Δεν είναι δικής μου έμπνευσης όμως. Κάπου την πέτυχα και έσκασα στα γέλια!!!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιουν 05, 2010 5:17 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ρε παιδιά, το ξεφτυλίσατε το θέμα με τις πιθανότητες! Το πατήσατε καταγής!!! Αχιλλέα οι διαφορετικές λύσεις που λες είχαν σταλεί στο περιοδικό; Πώς μπορεί κανείς να έχει πρόσβαση σε αυτές;
Στο νέο βιβλίο

25 Years of Mathematical Gazette Problem Corner

by The Mathematical Association

που το συνιστώ ανεπιφύλακτα. Έχει όλα τα προβλήματα με τις λύσεις τους στο περιοδικό.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακολουθίας

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Μάιος 18, 2011 9:29 pm

Μια ακόμα λύση για την παραπάνω άσκηση, η οποία χρησιμοποιεί την τεχνική που παρουσιάζεται εδώ.

Ας θέσουμε \displaystyle{A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}} και \displaystyle{B_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n^k}{k!}}.

Αναζητούμε το \displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{A_{n}}{e^n}}.

Από τον τύπο του Taylor με την ολοκληρωτική μορφή για το υπόλοιπο, έχουμε

\displaystyle{e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}e^{t}(x-t)^n\,dt}, άρα

\displaystyle{B_{n}=e^{n}-A_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{n}e^{t}(n-t)^n\,dt}.

Όμως

\displaystyle{\frac{1}{n!}\int_{0}^{n}e^{t}(n-t)^n\,dt\stackrel{t=ny}{=}\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{1}\left(e^y(1-y)\right)^n\,dy=\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{1}e^{n\ln e^y(1-y)}\,dy}.

Τώρα η \displaystyle{h(y):=\ln e^y(1-y)} ικανοποιεί τις υποθέσεις της πρότασης 9 σελίδα 45 εδώ, άρα

\displaystyle{B_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{n}e^{t}(n-t)^n\,dt\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\frac{\sqrt{\pi/2}n^{n+1/2}}{n!}\stackrel{stirling}{\sim}\frac{e^n}{2}}.

Έπεται ότι \displaystyle{\frac{B_{n}}{e^n}\to\frac{1}{2}}, άρα και \displaystyle{\frac{A_{n}}{e^n}\to\frac{1}{2}}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης