Όριο ακολουθίας

#1

Να υπολογισθεί το όριο

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} e^{-n}\left(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots +\frac{n^n}{n!}\right)}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ωmega Man · #2

Αχιλλέα το όριο κάνει 0 μήπως αν όχι στείλε μου πμ να το σβήσω. Αλλιώς θα γράψω μια σκέψη.

papel · #3

Εαν σπασω το οριο στα δυο μελη η παρανθεση δινει e^n αρα e^(-n)*e^(n)=1.

#4

Ελπίζω να μην έχω λάθος. Από το Λήμμα Cesaro έχουμε ότι αρκεί να βρούμε το όριο

$\displaystyle{\frac{(n+1)^n}{e^n\cdot n!}=(\frac{n+1}{n})^n\frac{(\frac{n}{e})^n\cdot\sqrt{2n\pi}}{n!}\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}}$

Οι πρώτοι δύο όροι είναι φραγμένοι, αφού ο πρώτος συγκίνει στο

και ο δεύτερος στο 1 (από Stirling), και η τρίτη είναι μηδενική άρα πάει στο 0

Ωmega Man · #5

Εαν σπασω το οριο στα δυο μελη η παρανθεση δινει e^n αρα e^(-n)*e^(n)=1.

Η σειρά της παρένθεσης είναι η $\displaystyle{\bf \sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{n!}}$ είσαι σίγουρος ότι κάνει $\displaystyle{\bf e^{n}}$ για $\displaystyle{\bf n\rightarrow +\infty}}$ ;

#6

Τώρα είδα τις απαντήσεις σας...το όριο δεν είναι ούτε 1 ούτε 0...

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

εδώ

papel · #8

Απιστευτο επεσε ακριβως στην μεση των απαντησεων.Τι συμμετρια θεε μου..

#9

Tην πάτησα πανυγηρικά !! Αλλά μόλις είδα ότι και ο Αλέξανδρος είχε κανει το ίδιο λάθος.... Εντάξει μπορώ να πω ότι αισθάνομαι τις μισές τύψεις τώρα

p_gianno · #10

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:[1 νέος 18 χρονών θα πάρει σύνταξη στα 88! Όλα μαζί 11888. Τυχαίο; Δε νομίζω....!" ]

Αναστάση για μια ακόμη φορά έγραψες !!

#11

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:εδώ

Δε γνώριζα ότι είχε ξαναπροταθεί...ας είναι...νομίζω ότι θα σας αποζημιώσω με την παρακάτω λύση (όχι δική μου)...

Θεωρούμε

ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X_i

( $i=1,2,\dots,n$ ) καθεμια από τις οποίες έχει την κατανομή Poisson με παράμετρο 1.

Τότε η $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ έχει την καταnομή Poisson με παράμετρο

.

Επομένως,

$\displaystyle{P(S_n\leq n)=e^{-n}\left(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots +\frac{n^n}{n!}\right)}$ .

Για μεγάλο

, από το central limit theorem, η κατανομή της S_n

προσεγγίζει την κανονική κατανομή με μέση τιμή και διακύμανση

.

Συνεπώς, θα είναι

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} P(S_n\leq n)=\frac{1}{2}}$ .

Το συμπέρασμα έπεται.

Σχόλια: (1) Το πρόβλημα τέθηκε στο The Mathematical Gazette to 1983. Πολλοί λύτες έστειλαν μια λύση παρόμοια με την παραπάνω! 'Αλλοι προτίμησαν μια πιο αναλυτική προσέγγιση.

(2) Μιά άλλη προσέγγιση συνδυάζει το Θεώρημα προσέγγισης του Taylor, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης και τον τύπο του Stirling.

(3) Ένας τρόπος υπολογισμού του παραπάνω ορίου από τον Ramanujan πάει πίσω ώς το 1911.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#12

smar έγραψε:Tην πάτησα πανυγηρικά !! Αλλά μόλις είδα ότι και ο Αλέξανδρος είχε κανει το ίδιο λάθος.... Εντάξει μπορώ να πω ότι αισθάνομαι τις μισές τύψεις τώρα

Σιλουανέ μήπως αντιγράφεις;

Μάλλον και εγώ αντιγράφω

Με πρόλαβε ο Αχιλλέας.

Έστω $X_1,X_2,\ldots$ ανεξάρτητες κατανομές Poisson με παράμετρο 1.

Άρα κάθε X_ i

έχει μέση τιμή 1 και τυπική απόκλιση 1. Είναι επίσης γνωστό ότι η $Y_n = X_1 + \cdots + X_n$ είναι κατανομή Poisson με παράμετρο

.

Από το κεντρικό οριακό θεώρημα έχουμε

$\displaystyle{ \frac{Y_n - n}{\sqrt{n}} = \frac{X_1 + \cdots + X_n - n}{\sqrt{n}} \to N(0,1)}$

Άρα $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Pr((Y_n - n)/\sqrt{n} \leqslant 0) \to P(N \leqslant 0) = 1/2}$

όπου

είναι κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1.

Αλλά $\displaystyle{\Pr((Y_n - n)/\sqrt{n} \leqslant 0) = e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}. }$

Άρα $\displaystyle{ e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} \to \frac{1}{2}}$

#13

Demetres έγραψε: Σιλουανέ μήπως αντιγράφεις;

Δεν θα το ξανακάνω κύριε...

Μη με μηδενίσετε...
Η λύση με τις πιαθανότητες είναι ΕΠΙΚΗ !!

#14

Ρε παιδιά, το ξεφτυλίσατε το θέμα με τις πιθανότητες! Το πατήσατε καταγής!!! Αχιλλέα οι διαφορετικές λύσεις που λες είχαν σταλεί στο περιοδικό; Πώς μπορεί κανείς να έχει πρόσβαση σε αυτές;

math_finder έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:[1 νέος 18 χρονών θα πάρει σύνταξη στα 88! Όλα μαζί 11888. Τυχαίο; Δε νομίζω....!" ]
Αναστάση για μια ακόμη φορά έγραψες !!

Φοβερή ατάκα ε;

Δεν είναι δικής μου έμπνευσης όμως. Κάπου την πέτυχα και έσκασα στα γέλια!!!

#15

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ρε παιδιά, το ξεφτυλίσατε το θέμα με τις πιθανότητες! Το πατήσατε καταγής!!! Αχιλλέα οι διαφορετικές λύσεις που λες είχαν σταλεί στο περιοδικό; Πώς μπορεί κανείς να έχει πρόσβαση σε αυτές;

Στο νέο βιβλίο

25 Years of Mathematical Gazette Problem Corner

by The Mathematical Association

που το συνιστώ ανεπιφύλακτα. Έχει όλα τα προβλήματα με τις λύσεις τους στο περιοδικό.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#16

Μια ακόμα λύση για την παραπάνω άσκηση, η οποία χρησιμοποιεί την τεχνική που παρουσιάζεται εδώ.

Ας θέσουμε $\displaystyle{A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}}$ και $\displaystyle{B_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n^k}{k!}}$ .

Αναζητούμε το $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{A_{n}}{e^n}}$ .

Από τον τύπο του Taylor με την ολοκληρωτική μορφή για το υπόλοιπο, έχουμε

$\displaystyle{e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}e^{t}(x-t)^n\,dt}$ , άρα

$\displaystyle{B_{n}=e^{n}-A_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{n}e^{t}(n-t)^n\,dt}$ .

Όμως

$\displaystyle{\frac{1}{n!}\int_{0}^{n}e^{t}(n-t)^n\,dt\stackrel{t=ny}{=}\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{1}\left(e^y(1-y)\right)^n\,dy=\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{1}e^{n\ln e^y(1-y)}\,dy}$ .

Τώρα η $\displaystyle{h(y):=\ln e^y(1-y)}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις της πρότασης 9 σελίδα 45 εδώ, άρα

$\displaystyle{B_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{n}e^{t}(n-t)^n\,dt\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\frac{\sqrt{\pi/2}n^{n+1/2}}{n!}\stackrel{stirling}{\sim}\frac{e^n}{2}}$ .

Έπεται ότι $\displaystyle{\frac{B_{n}}{e^n}\to\frac{1}{2}}$ , άρα και $\displaystyle{\frac{A_{n}}{e^n}\to\frac{1}{2}}$ .

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Τυχαίο; Δε νομίζω....!"

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση