Κανω μια αρχη με καποιες λυσεις:
1) Η Σειρα ειναι σειρα θετικων αριθμων οποτε θα ισουτε με το οριο

, οταν

Λαμβανοντας στη συνθηκη

και προσθετοντας το αριστερο μελος πολλαπλασιασμενο με

, παιρνουμε

, και επαγωγικα:

.
Οποτε αρκει νδο:

, οπου

ακολουθια συγκλινουσα στο

.
Πραγματι, η ανισοτητα αριθμιτικου-γεωμετρικου μεσου δινει:
και τελος.
3) Απο την υποθεση ευκολα εχουμε οτι το ολοκληρωμα της

σε καθε διαστημα μηκους

ειναι 0. Ομως απο το Λημμα του Kronecker οι αριθμοι

ειναι πυκνοι στο R και επομενως προσεγγιζουν το 0 οσο θελουμε, οποτε σε καθε διαστημα του R μπορουμε να βρουμε υποδιαστημα στο οποιο το ολοκληρωμα της

ειναι 0. Αν λοιπον δεν ισχυει το ζητουμενο, μπορουμε να βρουμε

με

, χωρις βλαβη της γενικοτητας λαμβανουμε

, και απο τη συνεχεια της

υπαρχει περιοχη

του

με

, τοτε ομως

για καθε υποδιαστημα

του

, ατοπο αφου υπαρχει υποδιαστημα του

στο οποιο το ολοκληρωμα της

ειναι 0.
4) Το 1ο εχει ξανασυζητηθει στο φορουμ, προκειτε περι γνωστου θεωρηματος που ειναι καλο να γνωριζουν ολοι οι φοιτητες που ασχολουνται με διαγωνισμους, η αποδειξη ειναι straightforward με πραξεις στη σχεση

, δουλευοντας με την συντεταγμενη του ιδιοδιανυσματος

με τη μεγιστη απολυτη τιμη.
Το 2ο παει ως εξης: Ο πινακας ειναι συμμετρικος αρα οι ιδιοτιμες ειναι πραγματικες και απο το 1ο ευκολα προκειπτει οτι οι ιδιοτιμες ειναι και θετικες. Το γινομενο των ιδιοτιμων που ειναι η οριζουσα του πινακα

ειναι λοιπον θετικο, ενω το αθροισμα των ιδιοτιμων ειναι το ιχνος του πινακα το οποιο ειναι ισο με

(οπου n η διασταση του πινακα) και απο την ανισοτητα αριθμιτικου-γεωμετρικου μεσου ισχυει:
![\sqrt[n]{detA} = \sqrt[n]{\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}} \leq \frac{\lambda_{1} + \lambda_{2} + ... + \lambda_{n}}{n} = 1 \sqrt[n]{detA} = \sqrt[n]{\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}} \leq \frac{\lambda_{1} + \lambda_{2} + ... + \lambda_{n}}{n} = 1](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/98aa80d36d35d49bb93fed1df954e5dc.png)
(οπου

ειναι η i-ιδιοτιμη) οποτε λοιπον εχουμε τη ζητουμενη ανισοτητα.
Το 2ο ειναι επισης ενα πολυ ομορφο προβλημα. Το 5ο θελει καποια δουλεια αλλα πιστευω πως ειμαι αρκετα κοντα, οταν το τελειωσω θα ποσταρω τη λυση και σε αυτο.