Δύσκολο Όριο

TrItOs · #1

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
$\begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$
Μπορεί να γίνει εφαρμογή της συνάρτησης f(x)=x^n , x > 0

, με κάποιο τρόπο , επειδή αυτή η συνάρτηση είναι κυρτή ;
και επιπλέον νομίζω ότι μπορεί να εφαρμοσθεί και το θεώρημα Stolz - Cesaro

Λάμπρος Κατσάπας · #2

TrItOs έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
$\begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$

Το όριο είναι $\dfrac{e}{e-1}.$

Μπορούμε να εφαρμόσουμε το παρακάτω γενικό αποτελέσμα (Tannery's theorem):

Έστω ότι η σειρά $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }a_k(n)$ συγκλίνει για κάθε

.

Επίσης, έστω ότι για κάθε

ισχύει

$\triangleright \lim_{n\rightarrow \infty }a_k(n)=a_k,$

$\triangleright \left |a_k(n) \right |\leq M_k$ για κάθε

και η σειρά $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }M_k$ συγκλίνει.

Τότε $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{\infty }a_k(n)=\sum_{k=1}^{\infty }a_k.$

Εδώ θα θεωρήσουμε $a_k(n)=0,k\geq n$ και $a_k(n)=\left ( \dfrac{n-k}{n} \right )^n=\left ( 1-\dfrac{k}{n} \right )^n,0\leq k\leq n-1.$

Είναι $\left | a_k(n) \right |\leq e^{-k}:=M_k$ και $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty }M_k=\dfrac{e}{e-1}.$

Υπάρχουν και άλλες λύσεις.

Edit: Διόρθωση τυπογραφικού. Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση.

Tolaso J Kos · #3

TrItOs έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
$\begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$

Βγάζω $\frac{e}{e-1}$ . Απλά σπάστε το σε κλάσματα .. Μετά είναι άπειρο άθροισμα γεωμετρικής προόδου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 10:45 pm
TrItOs έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
$\begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$

Βγάζω $\frac{e}{e-1}$ . Απλά σπάστε το σε κλάσματα .. Μετά είναι άπειρο άθροισμα γεωμετρικής προόδου.

Τόλη δεν πάει έτσι.
Αν ήταν ετσι τότε
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{n+n}=0+0+0....+0=0$

#5

TrItOs έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
$\begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$

Επειδή η $\displaystyle{ \left ( 1-\dfrac {a}{n}\right) ^n}$ αυξάνει προς την $e^{-a}$ έχουμε

$\displaystyle{ \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n}= \left ( 1-\dfrac {n-1}{n}\right) ^n+\left ( 1-\dfrac {n-2}{n}\right) ^n + ... + \left ( 1-\dfrac {2}{n}\right) ^n+ \left ( 1-\dfrac {1}{n}\right) ^n + 1 }$

$\displaystyle{ \le e^{n-1}+e^{n-2}+...+e^{-2}+e^{-1}+1\le \sum _{k=0}^{\infty}e^{-k} = \dfrac {e}{e-1} \,(*)}$ .

Επίσης για κάθε σταθερό

και για $n\ge k$ έχουμε ότι το παραπάνω άθροισμα είναι

$\displaystyle{\ge \frac{(n-k)^n+ \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n}= \left ( 1-\dfrac {k}{n}\right) ^n + ... + \left ( 1-\dfrac {2}{n}\right) ^n+ \left ( 1-\dfrac {1}{n}\right) ^n + 1}$

Παίρνοντας όριο στο δεξί μέλος παρατηρούμε ότι συγκλίνει στο $\displaystyle{e^{-k}+...+e^{-1}+1}$ . Επειδή το το τελευταίο αυξάνει προς $\displaystyle{\dfrac {e}{e-1}}$ έπεται από ισοσυγκλίνουσες και την (*)

ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει και είναι ίσο με $\displaystyle{ \dfrac {e}{e-1}}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

TrItOs έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
$\begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$

Είναι
$\displaystyle \left ( \dfrac{n-k}{n} \right )^n=\left ( 1-\dfrac{k}{n} \right )^n \leq e^{-k}$

για $0 \leq k\leq n$ .
και
$\displaystyle \left ( 1-\dfrac{k}{n} \right )^n \rightarrow e^{-k}$
(είναι αύξουσα η ακολουθία)
Ετσι
$\displaystyle a_{n}=\frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n}\leq \sum_{k=0}^{n-1}e^{-k}\leq \sum_{k=0}^{\infty }e^{-k}=\frac{e}{e-1}$

Από την τελευταια παίρνουμε
$\displaystyle limsup a_{n}\leq \frac{e}{e-1}$ (1)

Εστω

σταθερό.
Για n>k

είναι
$\displaystyle a_{n}=\frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n}\geq 1+(1-\frac{1}{n})^{n}+(1-\frac{2}{n})^{n}+......+(1-\frac{k}{n})^{n}$

Από την τελευταία παίρνουμε ότι
$\displaystyle liminf a_{n}\geq \sum_{m=0}^{k}e^{-m}$

Αυτή ισχύει όμως για κάθε

.
Αρα θα είναι
$\displaystyle liminf a_{n}\geq \sum_{m=0}^{\infty }e^{-m}=\frac{e}{e-1}$ (2)
Από (1),(2) έχουμε το όριο.

Δύσκολο Όριο

Δύσκολο Όριο

Re: Δύσκολο Όριο

Re: Δύσκολο Όριο

Re: Δύσκολο Όριο

Re: Δύσκολο Όριο

Re: Δύσκολο Όριο

Μέλη σε σύνδεση