Να δειχθεί ότι δεν είναι ρητός

[TrItOs]

Να δειχθεί ότι ο αριθμός

δεν είναι ρητός.

Σημειώνουμε ότι ο αριθμός προκύπτει ως εξής : μετά την υποδιαστολή τοποθετούμε τους φυσικούς αριθμούς , τον ένα δίπλα στον άλλο .
Σχολιάζω ότι αν ο αριθμός αυτός ήταν ρητός τότε επειδή αυτός ο αριθμός δεν τελειώνει σε μηδενικά , έπεται ότι αυτός θα είναι περιοδικός , επιπλέον παρατηρούμε ότι ο αριθμός που κατασκευάσαμε όμως δεν είναι περιοδικός , εκ κατασκευής ( αν δεν κάνω κάπου λάθος ) .
Επιπλέον υπάρχει κάποιος τρόπος να γράψουμε τον αριθμό ως σειρά ;
Επίσης αν υπάρχει κάτι επιπλέον όσον αφορά τον αριθμό αυτό , να σημειωθεί .

[Mihalis_Lambrou]

παρατηρούμε ότι ο αριθμός που κατασκευάσαμε όμως δεν είναι περιοδικός , εκ κατασκευής ( αν δεν κάνω κάπου λάθος ) .

Σωστό αλλά θέλει αιτιολόγηση:

Αν ήταν περιοδικός σημαίνει ότι από κάποιον όρο πέρα υπάρχει ένα κομμάτι μήκους (για κάποιο ) που επαναλαμβάνεται. Επειδή δεξιότερα του σημείου και πέρα υπάρχει διαδοχή από τουλάχιστον μηδενικά (προερχόμενα από κάποιον φυσικό της μορφής ) σημαίνει ότι η περίοδος θα ήταν αυτά τα μηδενικά. Άτοπο, αφού υπάρχουν παρακάτω και μη μηδενικά ψηφία.

[User#0000]

Δεν ξέρω αν μπορείς να γράψεις τον αριθμό ως σειρά αλλά πιο παλιά είχα φτιάξει έναν τύπο για αριθμούς της μορφής:

Μακάρι να βοηθήσει
Όπου το είναι ο αριθμός των ψηφίων του αριθμού και και είναι μονοψήφιοι μη αρνητικοί αριθμοί.

Edit: πιο αναλυτικά https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 34#p315434 εδω

[Mihalis_Lambrou]

Δεν ξέρω αν μπορείς να γράψεις τον αριθμό ως σειρά αλλά πιο παλιά είχα φτιάξει έναν τύπο για αριθμούς της μορφής:

Μην μπερδεύουμε τα πράγματα χωρίς λόγο. Ο τύπος για το είναι τετριμμένος οπότε ας μην δίνουμε την εντύπωση οτι είναι κάτι δύσκολο ή σπουδαίο. Γενικότερα μπορούμε ΠΑΡΑ πολύ εύκολα να βρούμε (γνωστότατο) τύπο για επαναλαμβανόμενο κομμάτι . Άλλωστε είναι στάνταρ και απλή εφαρμογή των τύπων της γεωμετρικής προόδου, και τον βρίσκουμε ως απλή άσκηση σε ουσιαστικά όλα τα βιβλία που μελετούν γεωμετρική πρόοδο.

Για τον αριθμό που δεν έχει περιοδικό κομμάτι, τα πράγματα είναι λίγο πιο δύσκολα. Μπορούμε να γράψουμε τύπο με αλλά έχει σύνθετη μορφή. Προσκαλώ τους μαθητές μας να κάνουν προσπάθεια.