Άθροισμα τετραγώνων , απόδειξη του Zagier

TrItOs · #1

Έστω p περιττός πρώτος . Αν ο p είναι της μορφής
$p \equiv 1 (mod 4)$
τότε υπάρχουν φυσικοί αριθμοί
$x , y \in \mathbb{N}$
τέτοιοι ώστε να ισχύει ότι
$p = x^{2} + y^{2} .$
Σχόλιο : Ισχύει και το αντίστροφο .
Επιπλέον είναι θεώρημα των Fermat - Euler , ωστόσο θα ήθελα αν γνωρίζει κάποιος να δώσει την απόδειξη του Zagier
( Proof from the Book , όπου ο Paul Erdos είχε τις πολύ έξυπνες αποδείξεις στο Βιβλίο , αναφέρει ότι η απόδειξη του Zagier ανήκει στο Βιβλίο ) .
Η ιδέα στην απόδειξη εάν δεν κάνω λάθος είναι ότι μια ομάδα πινάκων δρα στο παρακάτω σύνολο

,

$\bigg*$ πως ακριβώς προκύπτει αυτό ;

Θεωρούμε το σύνολο
$S = \{ (x , y , z) \in \mathbb{N}^{3} : x^{2} + 4 y z = p \}$
και στη συνέχεια ορίζουμε την συνάρτηση
$f : S \rightarrow S$
όπου τα σύνολα
$S_{1} = \{ (x , y , z) \in \mathbb{N}^{3} : x < y - z \quad , \quad x^{2} + 4 y z = p \}$
$S_{2} = \{ (x , y , z) \in \mathbb{N}^{3} : y - z < x < 2y \quad , \quad x^{2} + 4 y z = p \}$
$S_{3} = \{ (x , y , z) \in \mathbb{N}^{3} : x > 2 y \quad , \quad x^{2} + 4 y z = p \}$
και αποδεικνύεται ότι τα σύνολα
$S_{1} \quad , \quad S_{2} \quad , \quad S_{3}$
είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και η ένωσή τους ισούται με
$S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} = S$
και η συνάρτηση έχει τύπο ο οποίος δίνεται σε τρεις κλάδους ως εξής:
$\forall (x , y , z) \in \mathbb{N}^{3} : f(x , y, z) =$
$= (x + 2z , z , y - x - z) \quad , \quad (x , y , z) \in S_{1}$
$= (2y - x , y , x + z - y) \quad , \quad (x , y , z) \in S_{2}$
$= (x - 2y , x + z - y , y) \quad , \quad (x , y , z) \in S_{3}$
Στη συνέχεια δείχνουμε ότι
$f(f(x , y , z)) = (x , y , z) \quad , \quad \forall (x , y , z) \in S$
Και έπειτα βρίσκουμε ότι αυτή η συνάρτηση f έχει ένα και μοναδικό σταθερό σημείο το οποίο είναι
$(1 , 1 , \frac{p-1}{4}) \in S_{2}$
και μετά αυτό μας δίνει ως αποτέλεσμα ότι εάν χωρίσουμε το σύνολο

στα
δισύνολα $\{ (x , y , z) , f(x , y , z) \}$
και το μονοσύνολο $\{ (1 , 1 , \frac{p-1}{4}) \}$
διαπιστώνουμε ότι το σύνολο

έχει για πληθάριθμό έναν περιτττό αριθμό , δηλαδή $\big| S \big| =$ περιττός .

$\bigg*$ Το ερώτημα μου είναι πως προκύπτει ότι ο πληθάριθμος του συνόλου

είναι περιττός αριθμός , και πως συνεχίζουμε παρακάτω ;

Αν δεν κάνω λάθος η απόδειξη προχωράει παρακάτω ως εξής:
ότι κάθε ενέλιξη του

, δηλαδή ότι κάθε απεικόνιση
$g : S \rightarrow S \quad , \quad g(g(x , y , z)) = (x , y , z) \quad , \quad \forall (x , y , z) \in S$
έχει περιττό πλήθος σταθερών σημείων και πόσο μάλιστα τουλάχιστον ένα .
Επομένως επιλέγουμε την
$g : S \rightarrow S \quad , \quad g(x , y , z) = (x , z , y) \quad , \quad \forall (x, y , z) \in S$
για την οποία απεικόνιση ισχύει ότι
$g(g(x , y , z)) = g(x , z , y) = (x , y , z) \quad , \quad \forall (x , y , z) \in S$
και παρατηρούμε ότι έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο της μορφής
$(x , y , y ) \in S \Rightarrow x^{2} + 4 \cdot y \cdot y = p \Rightarrow x^{2} + (2y)^{2} = p$

Άθροισμα τετραγώνων , απόδειξη του Zagier

Άθροισμα τετραγώνων , απόδειξη του Zagier

Μέλη σε σύνδεση