Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

stranger · #1

Με μεγάλη χαρά θα ήθελα να ανακοινώσω στο φόρουμ μας ότι υπάρχει αρκετά μεγάλη πιθανότητα η προσωπική μου δουλειά στην εικασία erdos-turan που είναι προσπάθεια ενός χρόνου μπορεί και να έχει φτάσει στο τέλος της. Δηλαδή στην απόδειξη της συγκεκριμένης εικασίας.
Η εικασία αυτή διατυπώθηκε από τους μαθηματικούς Erdos και Turan και λέει το εξης.
Αν πάρουμε ένα σύνολο

φυσικών αριθμών και υποθέσουμε ότι κάθε αρκετά μεγάλος φυσικός γράφεται ως άθροισμα δυο στοιχείων από το σύνολο

τότε αναγκαστικά η συνάρτηση που απαριθμεί το πλήθος των τρόπων που γράφεται ένας φυσικός ως άθροισμα δύο τέτοιων στοιχείων είναι μη φραγμένη.
Ποτέ δεν μπορεί να είναι 100 τις 100 σίγουρος κάποιος βέβαια για μια απόδειξη αν δεν περάσει τις απαραίτητες διαδικασίες, όμως η πιθανότητα να είναι σωστή είναι αυξημένη.
Επισυνάπτω το κείμενο μου για όποιον ενδιαφέρεται.
Ευχαριστώ.

#2

Αγαπητέ Κωνσταντίνε θερμά συγχαρητήρια για τη δουλειά σου πάνω στην εικασία των Erdos-Turan. Εύχομαι σύντομα να περάσουν όλες οι απαραίτητες αξιολογήσεις και η εργασία σου να γίνει δεκτή για δημοσίευση!

Είναι χαρά μας που σε έχουμε μέλος στο forum μας!

Αλέξανδρος

Τσιαλας Νικολαος · #3

Πολλά συγχαρητήρια!!!

stranger · #4

cretanman έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 18, 2024 7:44 pm
Αγαπητέ Κωνσταντίνε θερμά συγχαρητήρια για τη δουλειά σου πάνω στην εικασία των Erdos-Turan. Εύχομαι σύντομα να περάσουν όλες οι απαραίτητες αξιολογήσεις και η εργασία σου να γίνει δεκτή για δημοσίευση!

Είναι χαρά μας που σε έχουμε μέλος στο forum μας!

Αλέξανδρος

Ευχαριστώ πολύ Αλέξανδρε για τα καλά σου λόγια και τις ευχές σου.

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 18, 2024 9:01 pm
Πολλά συγχαρητήρια!!!

Ευχαριστώ πολύ.

#5

Θερμά συγχαρητήρια για την ολοκλήρωση της ερευνητικής εργασίας. Ευχές και για την περάτωση της διαδικασίας κρίσης.

S.E.Louridas · #6

stranger έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 17, 2024 11:58 pm
Με μεγάλη χαρά θα ήθελα να ανακοινώσω στο φόρουμ μας ότι υπάρχει αρκετά μεγάλη πιθανότητα η προσωπική μου δουλειά στην εικασία erdos-turan που είναι προσπάθεια ενός χρόνου μπορεί και να έχει φτάσει στο τέλος της. Δηλαδή στην απόδειξη της συγκεκριμένης εικασίας.
Η εικασία αυτή διατυπώθηκε από τους μαθηματικούς Erdos και Turan και λέει το εξης.
Αν πάρουμε ένα σύνολο φυσικών αριθμών και υποθέσουμε ότι κάθε αρκετά μεγάλος φυσικός γράφεται ως άθροισμα δυο στοιχείων από το σύνολο τότε αναγκαστικά η συνάρτηση που απαριθμεί το πλήθος των τρόπων που γράφεται ένας φυσικός ως άθροισμα δύο τέτοιων στοιχείων είναι μη φραγμένη.
Ποτέ δεν μπορεί να είναι 100 τις 100 σίγουρος κάποιος βέβαια για μια απόδειξη αν δεν περάσει τις απαραίτητες διαδικασίες, όμως η πιθανότητα να είναι σωστή είναι αυξημένη.
Επισυνάπτω το κείμενο μου για όποιον ενδιαφέρεται.
Ευχαριστώ.

Προσωπικά θεωρώ τιμή την παρουσία εδώ κοντά μας ενός Μαθηματικού Ερευνητή, συγκεκριμένα του κ. Κώστα Σμπώκου,
με την ευχή (αλλά και διαισθητικά την πίστη) της καλής κατάληξης.

stranger · #7

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2024 2:15 am

stranger έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 17, 2024 11:58 pm
Με μεγάλη χαρά θα ήθελα να ανακοινώσω στο φόρουμ μας ότι υπάρχει αρκετά μεγάλη πιθανότητα η προσωπική μου δουλειά στην εικασία erdos-turan που είναι προσπάθεια ενός χρόνου μπορεί και να έχει φτάσει στο τέλος της. Δηλαδή στην απόδειξη της συγκεκριμένης εικασίας.
Η εικασία αυτή διατυπώθηκε από τους μαθηματικούς Erdos και Turan και λέει το εξης.
Αν πάρουμε ένα σύνολο φυσικών αριθμών και υποθέσουμε ότι κάθε αρκετά μεγάλος φυσικός γράφεται ως άθροισμα δυο στοιχείων από το σύνολο τότε αναγκαστικά η συνάρτηση που απαριθμεί το πλήθος των τρόπων που γράφεται ένας φυσικός ως άθροισμα δύο τέτοιων στοιχείων είναι μη φραγμένη.
Ποτέ δεν μπορεί να είναι 100 τις 100 σίγουρος κάποιος βέβαια για μια απόδειξη αν δεν περάσει τις απαραίτητες διαδικασίες, όμως η πιθανότητα να είναι σωστή είναι αυξημένη.
Επισυνάπτω το κείμενο μου για όποιον ενδιαφέρεται.
Ευχαριστώ.
Προσωπικά θεωρώ τιμή την παρουσία εδώ κοντά μας ενός Μαθηματικού Ερευνητή, συγκεκριμένα του κ. Κώστα Σμπώκου,
με την ευχή (αλλά και διαισθητικά την πίστη) της καλής κατάληξης.

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2024 12:12 am
Θερμά συγχαρητήρια για την ολοκλήρωση της ερευνητικής εργασίας. Ευχές και για την περάτωση της διαδικασίας κρίσης.

Ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Μιας και επίσυναψα το κείμενο μου μπορούμε να έχουμε μια συζήτηση με το φόρουμ σχετικά με τα σημεία κλειδιά της απόδειξης η ακόμα και να απαντήσω σε τυχόν προβληματισμούς η αντιρρήσεις σχετικά με το κείμενο.

#8

Έχει ανέβει στο ArXiv; Έχεις ανατροφοδότηση από ειδικούς στην περιοχή;

stranger · #9

silouan έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2024 12:36 pm
Έχει ανέβει στο ArXiv; Έχεις ανατροφοδότηση από ειδικούς στην περιοχή;

Γειά σου.
Έχει ανέβει στο HAL. Το έχω στείλει σε περιοδικό για peer review. Στο arxiv είναι δύσκολο να ανέβει λόγω έλλειψης affiliation από μέρους μου την συγκεκριμένη περίοδο.
Ξέρεις καλύτερα από μένα πως δουλεύουν αυτά στο arxiv.
Έχει σταλεί και σε ειδικούς χωρίς κάποια απάντηση από μέρους τους μέχρι τώρα. Είναι και στο researchgate.

#10

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2024 2:10 pm

Έχει ανέβει στο HAL. Το έχω στείλει σε περιοδικό για peer review. Στο arxiv είναι δύσκολο να ανέβει λόγω έλλειψης affiliation από μέρους μου την συγκεκριμένη περίοδο.
Ξέρεις καλύτερα από μένα πως δουλεύουν αυτά στο arxiv.
Έχει σταλεί και σε ειδικούς χωρίς κάποια απάντηση από μέρους τους μέχρι τώρα. Είναι και στο researchgate.

Ωραία, καλή επιτυχία!

#11

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2024 2:10 pm

silouan έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2024 12:36 pm
Έχει ανέβει στο ArXiv; Έχεις ανατροφοδότηση από ειδικούς στην περιοχή;
Γειά σου.
Έχει ανέβει στο HAL. Το έχω στείλει σε περιοδικό για peer review. Στο arxiv είναι δύσκολο να ανέβει λόγω έλλειψης affiliation από μέρους μου την συγκεκριμένη περίοδο.
Ξέρεις καλύτερα από μένα πως δουλεύουν αυτά στο arxiv.
Έχει σταλεί και σε ειδικούς χωρίς κάποια απάντηση από μέρους τους μέχρι τώρα. Είναι και στο researchgate.

Η καθυστέρηση είναι βεβαίως υπέρ του άρθρου σου, Κωνσταντίνε: προσπαθώ να φανταστώ τις πρώτες αντιδράσεις αυτών που το έλαβαν, δεν είναι μικρό πράγμα ένας άγνωστος να χτυπάει την πόρτα σου με την λύση ενός ανοικτού προβλήματος! (Θα πω δυστυχώς ότι οι περισσότεροι μάλλον θα εύχονταν να είναι καταρριπτέα η απόδειξη σου -- σε αντίθεση όμως με άλλα υποκειμενικότερα πεδία, η κατάρριψη εδώ απαιτεί πολύ συγκεκριμένα επιχειρήματα...)

Affiliation, you say? "Υιότητα" θα ήταν μια 'αυστηρή' ελληνική απόδοση, παραπέμποντας στο ελληνικότατο "ποιανού είσαι;"

Την ζητάει το arxiv για να αποκλείσει τους 'τρελούς', υποτίθεται, ισχύουν όμως και τα της προηγούμενης πρότασης και παραγράφου

Ως μη ιδιαίτερα δραστήριος ερευνητικά δεν έχω μεγάλη εμπειρία με το arxiv, αλλά την μία φορά που το χρειάστηκα ... εκμεταλλεύτηκα την πρότερη (προ πρόωρης συνταξιοδότησης) υιότητα και 20ετή εργασία μου στο SUNY Oswego ... και έτσι πέρασε το άρθρο

(Εντάξει, προσπάθησα και μια δεύτερη φορά, αλλά, παρά την ως άνω υιότητα, το άρθρο δεν πέρασε^ δεν ξέρω τι άλλα 'τυφλά' κριτήρια έχουν, υποπτεύομαι -- και εδώ θα μπορούσε να 'στοχοποιηθεί' ακόμη και ένα άλλου επιπέδου άρθρο όπως το δικό σου -- ότι η έλλειψη ερευνητικών άρθρων στην βιβλιογραφία είναι ένας αρνητικός παράγων.)

Μακάρι να εγκριθεί, αργά ή γρήγορα, το άρθρο Erdos-Turan... και να έχουμε να λέμε πως το πρωτοείδαμε εδώ στο

... νομίζοντας, και κρίνοντας από τον τίτλο και μόνον, πως πρόκειται απλώς για μια ακόμη ενημερωτική δημοσίευση! Αλλά, ακόμη και αν βρεθεί καίριο λάθος, διαισθάνομαι ότι θα μπορούσε κάλλιστα να είναι μία σημαντική συνεισφορά που θα ανακινήσει το ενδιαφέρον της αριθμοθεωρητικής κοινότητας για το πρόβλημα!

#12

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Κώστα. Ακόμα και αν υπάρξουν κάποια κενά, σίγουρα θα έχεις δώσει μια μεγάλη ώθηση στην επίλυση του δύσκολου αυτού
προβλήματος. Όλοι μας έχουμε την ελπίδα να είσαι ένας ακόμα συμπατριώτης μας, που θα έχει λύσει ένα από τα άλυτα μέχρι τώρα προβλήματα.

stranger · #13

Σας ευχαριστώ συνάδελφοι για τα καλά σας λόγια.
Ελπίζω και εγώ αυτό το εγχείρημα να έχει μια ευτυχή κατάληξη.

stranger · #14

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 22, 2024 7:08 pm
Affiliation, you say? "Υιότητα" θα ήταν μια 'αυστηρή' ελληνική απόδοση, παραπέμποντας στο ελληνικότατο "ποιανού είσαι;" Την ζητάει το arxiv για να αποκλείσει τους 'τρελούς', υποτίθεται, ισχύουν όμως και τα της προηγούμενης πρότασης και παραγράφου Ως μη ιδιαίτερα δραστήριος ερευνητικά δεν έχω μεγάλη εμπειρία με το arxiv, αλλά την μία φορά που το χρειάστηκα ... εκμεταλλεύτηκα την πρότερη (προ πρόωρης συνταξιοδότησης) υιότητα και 20ετή εργασία μου στο SUNY Oswego ... και έτσι πέρασε το άρθρο (Εντάξει, προσπάθησα και μια δεύτερη φορά, αλλά, παρά την ως άνω υιότητα, το άρθρο δεν πέρασε^ δεν ξέρω τι άλλα 'τυφλά' κριτήρια έχουν, υποπτεύομαι -- και εδώ θα μπορούσε να 'στοχοποιηθεί' ακόμη και ένα άλλου επιπέδου άρθρο όπως το δικό σου -- ότι η έλλειψη ερευνητικών άρθρων στην βιβλιογραφία είναι ένας αρνητικός παράγων.)

Μακάρι να εγκριθεί, αργά ή γρήγορα, το άρθρο Erdos-Turan... και να έχουμε να λέμε πως το πρωτοείδαμε εδώ στο ... νομίζοντας, και κρίνοντας από τον τίτλο και μόνον, πως πρόκειται απλώς για μια ακόμη ενημερωτική δημοσίευση! Αλλά, ακόμη και αν βρεθεί καίριο λάθος, διαισθάνομαι ότι θα μπορούσε κάλλιστα να είναι μία σημαντική συνεισφορά που θα ανακινήσει το ενδιαφέρον της αριθμοθεωρητικής κοινότητας για το πρόβλημα!

Δεν ξέρω κατά πόσο το arxiv πραγματικά προωθεί την εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης με τον τρόπο που θα έπρεπε.
Είχα διαβάσει μια ατάκα από το arxiv κάπου που με είχε αφήσει άφωνο κυριολεκτικά.
Είχαν πει το εξής: Εμείς δεν δεχόμαστε ερευνητικά κείμενα από ανθρώπους εκτός ακαδημαικής κοινότητας. Αν κάποιος εκτός ακαδημαικής κοινότητας κάνει μια σπουδαία ανακάλυψη τότε η ιστορία θα τον δικαιώσει.
Είχα μείνει άφωνος με την αλαζονεία και την απάθεια του συγκεκριμένου επιχειρήματος.
Και ρωτάω εγώ τώρα. Τι κριτήρια πρέπει να πληροί κάποιος για να μπορεί να δημοσιεύσει ένα άρθρο;
Έχοντας ολοκληρώσει ένα διδακτορικό στον τομέα της δημοσίευσης δεν είναι αρκετό;
Τι παραπάνω έχει ένας που ανήκει στην ακαδημαική κοινότητα;
Η κατάσταση στην ακαδημαική κοινότητα και η υπέρμετρη αλαζονεία και εγωπάθεια που επικρατεί είναι ο κυριότερος λόγος που δεν ανήκω πλέον σε αυτή.

#15

Κωνσταντίνε θα ήθελα να σε ρωτήσω αν έχεις οποιοδήποτε update για την κρίση της εργασίας σου. Σου έχουν απαντήσει;

Αλέξανδρος

stranger · #16

cretanman έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 13, 2024 9:58 pm
Κωνσταντίνε θα ήθελα να σε ρωτήσω αν έχεις οποιοδήποτε update για την κρίση της εργασίας σου. Σου έχουν απαντήσει;

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε καλημέρα
Είναι σε διαδικασία peer review. Το κοιτάνε ακόμα. Λογικά θα έχω νέα κατά τον Φεβρουάριο.
Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου. Θα ενημερώσω εδώ το φόρουμ όταν υπάρξει κάποια απάντηση.

stranger · #17

Το σημαντικό είναι ότι σιγουρεύτηκα εγώ για την ορθότητα της απόδειξης αυτές τις μέρες μετά από πολύ ψάξιμο και δουλειά.
Είχα κάποιες αμφιβολίες όλον αυτόν τον καιρό.
Πιστεύω ότι η απάντηση του περιοδικού δύσκολα θα είναι αρνητική.
Ευχαριστώ όλους για το ενδιαφέρον σας και θα σας ενημερώσω για οποιαδήποτε εξέλιξη.

nickolas tsik · #18

Καλησπέρα,αρχικά να συγχάρω τον stranger για την εξαιρετική δουλεία του.Αφότου κατάλαβα κάπως το ειρμό της απόδειξης,πιστεύω ότι είναι λογιστικά ορθή.Οσον με αφορά(αν δεν κανω λάθος γιατί δεν είμαι και expert) νομίζω οτι έχει ενα μικρό υπολογιστικό το λημμα 4.2 και 2.3(βλ.δεύτερο μέρος του πόστ).Αν κάνω λάθος,διορθώστ με.Καλή τύχη με τα peer reviev και με την επικαιροποιήση της απόδειξης.
(το ποστ το κάνω λόγω ενδιαφέροντος.δεν ασκώ καμμία κριτική)

Ορίζετε
$\displaystyle L(x)=\bigl|\Lambda(x-1)\bigr| - \bigl|\Lambda(x)\bigr|,$
όπου
$\Lambda(x)=-\frac{4\pi^2\cos(\pi x)}{x}+O(x^{-2})$
για $\lvert x\rvert\to\infty$ .
Τότε, για κάθε σταθερό $\lambda\in\mathbb{R}$ και $N\to\infty$ ,
$\displaystyle \lim_{N\to\infty}N^2\,L(\lambda - N) =4\pi^2\,\bigl|\cos(\pi\lambda)\bigr|.$
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Από την ασυμπτωτική
$\Lambda(x)=-\tfrac{4\pi^2\cos(\pi x)}{x}+O(x^{-2})$ ,
για $x=\lambda-N$ έχομε
$\displaystyle \bigl|\Lambda(\lambda - N)\bigr| =\frac{4\pi^2|\cos(\pi\lambda)|}{N}+O(N^{-2}),$
και ομοίως
$\bigl|\Lambda(\lambda - N - 1)\bigr| =\frac{4\pi^2|\cos(\pi\lambda)|}{N-1}+O(N^{-2})$ .
Έτσι
$\displaystyle L(\lambda - N) =4\pi^2|\cos(\pi\lambda)|\Bigl(\tfrac1{N-1}-\tfrac1N\Bigr)+O(N^{-2}) =4\pi^2|\cos(\pi\lambda)|\,\frac1{N(N-1)}+O(N^{-2}),$
και επειδή $\frac1{N(N-1)}=\frac1{N^2}+O(N^{-3})$ παίρνουμε
$\lim_{N\to\infty}N^2L(\lambda - N)=4\pi^2|\cos(\pi\lambda)|$ .

ΣΤΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΗ,
Έστω $B\subseteq\mathbb{N}_0$ ασυμπτωτική βάση τάξης 2 με R_B(N)=O(1)

, και
$\displaystyle B^*(\lambda)=\int_{1}^{\lambda-1}B(t)B(\lambda-t)\,dt, \quad B^*(\lambda)\ge w_1\lambda^2\quad(\lambda>2M_0).$
Ορίζεται
$\displaystyle \mathcal{N}(N) = N^2 \int_{\substack{0<\lambda<2N\\\cos(\pi\lambda)>0}} B^*(\lambda)\,e^{-\pi\lambda}\,\bigl|L(\lambda - 2N)\bigr|\,d\lambda.$
Τότε υπάρχει C_0>0

τέτοιο που για όλα τα $N\gg1$
$\displaystyle \mathcal{N}(N)\;\ge\;C_0.$
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Από Lemma δοθέν γνωρίζουμε ότι για κάθε σταθερό $\lambda$ ,
$\lim_{N\to\infty}N^2|L(\lambda-2N)|=4\pi^2|\cos(\pi\lambda)|$ .
Έτσι για

αρκετά μεγάλο και $\lambda$ με $\cos(\pi\lambda)>0$ ,
$\displaystyle N^2|L(\lambda-2N)|\ge2\pi^2|\cos(\pi\lambda)|.$
Επιπλέον $B^*(\lambda)\ge w_1\lambda^2$ αρα
$\displaystyle B^*(\lambda)e^{-\pi\lambda}\,[N^2|L(\lambda-2N)|] \ge2\pi^2w_1\,\lambda^2e^{-\pi\lambda}|\cos(\pi\lambda)|.$
Το σύνολο $\{\lambda\in(0,2N):\cos(\pi\lambda)>0\}$ έχει πολλά τμήματα θετικού μήκους, στα οποία
$\lambda^2e^{-\pi\lambda}|\cos(\pi\lambda)|$ είναι συνεχής και θετική.
Άρα υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο που
$\int_{\substack{0<\lambda<2N\\\cos(\pi\lambda)>0}}\lambda^2e^{-\pi\lambda}|\cos(\pi\lambda)|\,d\lambda\ge\delta$ .
Συνεπώς
$\mathcal{N}(N)\ge2\pi^2w_1\delta=:C_0>0$ .

ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ
Με $B^*(\lambda)\le w_2\lambda^2$ , θέτουμε
$\displaystyle D_1(N)=\int_{|\lambda-2N|\;|\cos(\pi\lambda)|\le C} B^*(\lambda)e^{-\pi\lambda}\min\{1,(\lambda-2N)^{-2}\}\,d\lambda, \quad D_2(N)=\int_{\lambda>2N-1}B^*(\lambda)e^{-\tfrac\pi2\lambda}\,d\lambda.$
Τότε
$\displaystyle D_1(N)=O\bigl(N^2e^{-2\pi N}\bigr), \qquad D_2(N)=O\bigl(N^2e^{-\pi N}\bigr),$
και
$\displaystyle \mathcal{D}(N)=e^{\pi N}\,D_1(N)\,D_2(N) =O\bigl(N^4e^{-2\pi N}\bigr).$
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Στην περιοχή $\lvert\lambda-2N\rvert=O(1)$ , $B^*(\lambda)=O(N^2)$ , $e^{-\pi\lambda}=e^{-2\pi N+O(1)}$ , $\min\{\dots\}\le1$ , και το μήκος $\lambda$ είναι O(1)

.
Άρα $D_1(N)=O(N^2e^{-2\pi N})$ .
Γράφουμε $\lambda=2N-1+t$ . Τότε $B^*(\lambda)=O(N^2+t^2)$ και
$e^{-\tfrac\pi2\lambda}=e^{-\pi N+O(1)}e^{-\tfrac\pi2t}$ .
Βάζοντας το

-άθροισμα παίρνουμε $D_2(N)=O(N^2e^{-\pi N})$ .
} αρα
$\mathcal{D}(N)=e^{\pi N}O(N^2e^{-2\pi N})O(N^2e^{-\pi N})=O(N^4e^{-2\pi N})$ .

Υποθέτουμε προς ατοπον ότι R_B(N)=O(1)

.
Με αυτά
$\displaystyle \mathcal{N}(N)\ge C_0>0, \quad \mathcal{D}(N)=O(N^4e^{-2\pi N}).$
Άρα
$\displaystyle \frac{\mathcal{N}(N)}{\mathcal{D}(N)} \;\gtrsim\; \frac{C_0}{N^4e^{-2\pi N}} =\frac{C_0}{N^4}\,e^{2\pi N} \;\longrightarrow\;+\infty \quad(N\to\infty).$
Αλλά από την αναπαράσταση $R_B(N)=\frac1{2\pi}[\dots]$ και την υπόθεση φραγμένης R_B(N)

θα έπρεπε να είναι O(1)

.
Έτσι καταλήγουμε σε ατοπο.
$\displaystyle \limsup_{N\to\infty}R_B(N)\;=\;+\infty.$

EDIT:Μτά διαπίστωσα(λόγω κόπου δεν σβήνω τα πανω) εξάλλου πολύ πιθανόν να κάνω λάθος

Έστω $B \subseteq \mathbb{N}$ άπειρο σύνολο τέτοιο ώστε:
$\displaystyle R_B(N) := \#\{(a,b) \in B \times B : a + b = N\} = O(1)$
Τότε:
Ισχύει $B(x) = O(\sqrt{x})$
Δεν είναι αναγκαίο να ισχύει $B(x) \geq c \sqrt{x}$ για κανένα c > 0

Άρα, η εκτίμηση $B^*(x) \geq w_1 x^2$ του Λήμματος 2.3 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί υπό αυτήν την υπόθεση

Απόδειξη:

Από την υπόθεση $R_B(N) \leq C$ , έχουμε:
$\displaystyle \sum_{k = 0}^{2\lambda} R_B(k) \leq C(2\lambda + 1)$
Αλλά επίσης:
$\displaystyle \sum_{k = 0}^{2\lambda} R_B(k) \geq \#\{(a,b) \in B^2 : a, b \leq \lambda\} = B(\lambda)^2$
Άρα:
$\displaystyle B(\lambda)^2 \leq C(2\lambda + 1) \Rightarrow B(\lambda) = O(\sqrt{\lambda})$

Ορίζουμε το σύνολο:
$\displaystyle B := \left\{ \left\lfloor n^{2 + \varepsilon} \right\rfloor : n \in \mathbb{N} \right\}, \quad \varepsilon > 0$

Επιπλέον,
$\displaystyle B(x) \sim x^{1/(2 + \varepsilon)} = o(\sqrt{x})$
Επομένως, για κάθε c > 0

, υπάρχει

τέτοιο ώστε $B(x) < c \sqrt{x}$ για x > x_0

.
} Το Λήμμα 2.3 απαιτεί:
$\displaystyle B(x) \geq c_1 \sqrt{x} \quad \text{για όλα τα } x \geq M_0$
Όμως, από την υπόθεση R_B(N) = O(1)

δεν εξασφαλίζεται κάτω φραγμα. Υπάρχουν σύνολα

(όπως το παραπάνω) για τα οποία:
$\displaystyle R_B(N) = O(1), \quad B(x) = o(\sqrt{x})$
Άρα, η εκτίμηση $B^*(x) \geq w_1 x^2$ δεν εφαρμόζεται.

Η εφαρμογή του Λήμματος 2.3 σε μια άτοπη υπόθεση

είναι λανθασμένη, καθώς προϋποθέτει ότι $B(x) \geq c \sqrt{x}$ , κάτι που αντιφάσκει με την ίδια την υπόθεση.
Τέλος δεν φαίνεται στο 2.1 η αναλυτική συνέχεια της συνάρτησης.
Ευχαριστώ

Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Re: Εικασία Erdos-Turan στη Θεωρία Αριθμών

Μέλη σε σύνδεση