Η κρυφή γοητεία της ξεχασμένης μεθόδου των τριών

[R BORIS]

Η κρυφή γοητεία
της ξεχασμένης
μεθόδου των τριών.









για την 6η δημοτικού

Ρ.Μπόρης
3/12/2024

1 Λίγο καιρό πριν έπεσε στα χέρια μου ένα φυλλάδιο με προβλήματα για την 6η δημοτικού που αφορούσε «τας εισιτηρίους εξετάσεις προτύπων γυμνασίων καιγυμνασίων αριστούχων\ των αδελφών Γρυμπιλάκου μαθηματικών εν έτι 1974. Γοητεύτηκα από την ποιότητα των προβλημάτων και ιδιαίτερα αυτών που η λύση χρησιμοποιούσε την «μέθοδο των τριών» και την «σύνθετον μέθοδον» και έτσι σκέφτηκα να σας την μεταφέρω εδώ προσθέτοντας και κάποιες δικές μου σκέψεις προς αποκομιδήν γμώσης
Θα παρουσιάσω τις προτάσεις απευθυνόμενος σε μαθητές του δημοτικού γιατί θα ήταν κρίμα να χάσουν αυτή την ομορφιά και θα γενικεύω όπου μπορώ χρησιμοποιώντας αλγεβρικές σχέσεις Η έλλειψη αυστηρότητας δεν στέκεται εμπόδιο αφού παραλήπτες είναι μαθητές δημοτικού

2.ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
2 ποσά Τ,Ρ είναι ανάλογα όταν διπλασιάζεται το Τ να διπλασιάζεται και το Ρ, όταν τριπλασιάζεται το Τ να τριπλασιάζεται και το Ρ κοκ. Παρατηρούμε ότι όταν αυξάνεται το Τ ομοίως αυξάνεται και το Ρ ή όταν μειώνεται το Τ μειώνεται και το Ρ

3.TΕΚΜΗΡΙΩΣΗ
Αν το Τ γίνει Τ/2, Τ/4,… και το ρ αντίστοιχα γίνει
ρ/2, ρ/4)… τότε είναι ανάλογα Aυτό όμως
είναι ελλιπές. Το σωστό είναι η σχέση y↔x) να είναι
γραμμική δηλαδή y=aX ή Υ/Χ=σταθ .Στον διπλασιασμό
κοκ είναι σαν να εκλέγουμε την τιμή της σταθεράς=2

4,ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑAΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ
Α) Η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο με τον χρόνο που χρειάζεται υποθέτοντας ότι το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα Είναι εφαρμογή του τύπου s=vt της κινηματικής
Β)δύναμη με την οποία τραβάμε ένα ελατήριο με την επιμήκυνση του ελατηρίου δυναμική . F=-Dx
Γ)Το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου με την ακτίνα του κύκλου Kι εδώ S=2πR

5.ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ
Αν τώρα αύξηση του Τ σημαίνει αύξηση του Ρ αυτό δε σημαίνει ότι η σχέση των Τ και Ρ είναι γραμμική (πράγματι μια αύξουσα συνάρτηση δεν είναι αναγκαστικά γραμμική)αλλά από την εμπειρία που διαθέτουν οι μαθητές της 6ης δημοτικού μπορούν να υποθέσουν κάτι τέτοιο και έτσι με βάση την φυσική εμπειρία τους και την λογική τους, μα όχι αυστηρά , θεωρούν ανάλογα τα ποσά Τ και Ρ

6. ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ
Εδώ μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τοπικά κάθε καλή συνάρτηση είναι γραμμική διότι είναι παραγωγίσιμη ή αναπτύσσεται σε σειρά Taylor οπότε μπορεί να αντικατασταθεί από την εφαπτομένη της που είναι γραμμική


ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ
7.ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Προηγείται ένα πρόβλημα το οποίο θα βοηθήσει τους μαθητές να εξάγουν αριθμητικά αποτελέσματα χωρίς να ασχοληθούν με ποιο θεωρητικές σκέψεις
Ένα αυτοκίνητο φτάνει στον Βόλο σε 4 ώρες . Η Απόσταση Βόλου – Αθήνας είναι 400Km. Σε πόσο χρόνο θα φτάσει στην Χαλκίδα ? αν η απόσταση Χαλκίδας – Αθήνας είναι 150 Km
(λάβετε υπ’ όψιν σας ότι το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα)
ΛΥΣΗ
Πρέπει να αναγνωρίσουμε τα ποσά που θα τοποθετήσουμε στην μέθοδο των τριών καθώς και τις τιμές τους
Αυτά είναι
Ποσό Τ ,οι ώρες, που το τοποθετούμε κατακόρυφα σε έναν πίνακα και περιέχει τις τιμές του Τ
ποσό Ρ που το τοποθετούμε κι αυτό κατακόρυφα και περιέχει τις τιμές του Ρ
Τώρα θα αναγνωρίσουμε ότι τα Ρ και Τ είναι ανάλογα Είναι λογικό αν σκεφτούμε ως εξής Αν διπλασιάσουμε την απόσταση του ταξιδιού μας θα διπλασιαστεί και ο χρόνος του ταξιδιού αφού η ταχύτητα μας μένει σταθερή το ιδιο και αν τριπλασιάσουμε κοκ άρα είναι ανάλογα
Μετα φτιάχνουμε τον πίνακα ως εξης


400Κm 4ωρ
150Km Xωρ

γράψαμε κατακόρυφα στην 1η στήλη του πίνακα τις τιμές ποσού Τ και σε αντιστοιχία στην 2η στήλη τις τιμές του Ρ
Είμαστε έτοιμοι να εφαρμόσουμε τον Χρυσό κανόνα της μεθόδου των τριών

Ο Χ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΟΝ ΑΠΟ ΠΑΝΩ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΕΠΙ ΤΟ
ΚΛΑΣΜΑ ΑΝΤΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ
Χ=4 150/400=600/400=3/2=1 1/2 ωρες

8.ΤAΕΚΜΗΡΙΩΣΗ
Αν ονομάσουμε a=400,b=4,c=150,d=x τότε οι αναλογίες 400/150 , 4/χ είναι ισA αφού θεωρήσαμε ότι η σχέση των ποσών Τ,Ρ είναι γραμμική και τα a=400,b=4,c=150,d=χ είναι ποσά οπότε α/c=b/d από εδώ προέκυψε ο χρυσός κανόνας της μεθόδου των τριών

9.ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Τα πηλίκα α/c =b/d ή τα αντίστροφά τους μπορεί να έχουν κάποια φυσική ερμηνεία ή όχι. Εδώ είναι καθαρός αριθμός

10.ΠΟΣΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ
2 ποσά Α,Β θα ονομάζονται αντίστροφα αν ο διπλασιασμός του Α ,ο τριπλασιασμός του Α αναγκάζουν το Β Να υποδιπλασιάζεται ,να υποτριπλασιάζεται κοκ…
παρατηρείστε ότι οι τιμές των Α Β έχουν γινόμενο σταθερό
Αλγεβρική σχεση που συνδέει τις τιμές 2 αντίστροφων είναι yx=σταθ

11.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
6εργατες τελειώνουν ένα έργο σε 30 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα τελείωναν το ίδιο έργο τριπλάσιοι εργάτες
ΛΥΣΗ
Ποσό Τ=ο αριθμός των εργατών ,τιμές του Τ Η πρώτη=6 σε εργάτες η δεύτερη 18 σε εργάτες με αντίστοιχες τιμές του Ρ η πρώτη σε 30 μέρες η δεύτερη σε Χ μέρες που το ψάχνουμε
Είναι λογικό να σκεφθούμε ότι αν οι τιμές του Τ αυξάνονται τότε οι τιμές του Ρ μειώνονται άρα τα ποσά μας είναι αντίστροφα
Φτιάχνουμε ένα ίδιο πίνακαα 0πως στα ανάλογα
6ερ 30με
18ερ Χμε

Ο χρυσός κανόνας για τα αντίστροφα αλλάζει
Ο Χ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΟΝ ΑΠΟ ΠΑΝΩ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΕΠΙ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΟΠΩΣ ΕΊΝΑΙ
Χ=30.6/18=10 μερες


Είναι δυνατόν να γενικεύσουμε τα παραπάνω για περισσότερο από δυο ποσά είτε είναι ανάλογα είτε αντίστροφα
αλλά ας αφήσουμε ένα παράδειγμα να μιλήσει από μόνο του

ΣΥΝΘΕΤΗ ΜΕΘΟΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ
12.ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Ένας εργολάβος προσέλαβε 12 εργάτες για να χτίσουν μια αποθήκη. Αυτοί δούλεψαν 20 μέρες και κατάφεραν να χτίσουν μόνο τα 3/5 της αποθήκης οπότε στον καυγά που έγινε φύγανε και άλλοι 4. Ο εργολάβος είδε ότι δεν τα έβγαζε πέρα Γιαυτό μετά 2 μέρες προσλαμβάνει άλλους 8 χτίστες. Πόσες ημέρες χρειάστηκαν για να χτιστεί η αποθήκη?
Λυση
Ποσό Τ=χτίστες
Ποσό Ρ=ημέρες
Ποσό Σ=έργου
είναι ανάλογα η αντίστροφα
Τώρα όμως τα ποσά μας είναι 3 οπότε για να δούμε αν είναι ανάλογα η αντίστροφα πρέπει να τα εξετάσουμε ανά δυο
Δηλαδή ίδιοι χτίστες Τ και εξετάζουμε τα Ρ,Σ που σημαίνει ότι διπλασιάσουμε τις ημέρες Ρ θα χτίσουμε διπλάσια αποθήκη 2Σ που είναι λογικά αναμενόμενο . Άρα Ρ,Σ ανάλογα
Για ίδιες ημέρες χτισίματος Ρ αν διπλασιάσουμε τους Τ θα διπλασιαστεί η αποθήκη Σ που είναι καυτό λογικό και άρα `-C Τ,Σ ανάλογα
τέλος με ίδιο τρόπο τα Τ,Ρ αντίστροφα
κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα
Τ Ρ Σ
12χτ σε 20με εκτέλεσαν τα 3/5ερ

12-4=8 χτ για 2με Υ ερ άγνωστο προς το παρόν

Α.Δείτε πως στις κατακόρυφες στήλες του πίνακα είναι γραμμένα τα ποσά ίδιες μονάδες και με αντίστοιχο τρόπο
Β. στις κατακόρυφες στήλες του πίνακα είναι γραμμένες οι τιμές των ποσών
Γ. στις οριζόντιες γραμμές του πίνακα υπάρχει μια γραμμή που όλα της τα στοιχεία είναι γνωστά

χ=3/5 2/20 8/12=1/25 ερ
Το χ δεν ήταν το ζητούμενο γιαυτό και μεις θα κάνουμε μια ντρίπλα
Θα προσαρμοστούμε στις καινούργιες καταστάσεις του προβλήματος και θα κατασκευάσουμε αν χρειαστεί έναν ακομη πίνακα

Έχουν χτιστεί 3/5+1/25=16/25ερ
Πρέπει ακόμη να χτιστεί 1-16/25=25/25-16/25=9\25ερ
Τώρα έχουμε 8+8 χτι
Θέλουν να χτίσουν 9/25 ερ
Σε Υ μέρες

Ξαναφτιάχνουμε πίνακα
8χτ 2με 1/25ερ
16χτ Υμε 9/25ερ

Υ=2 8/16 (9/25)/(1/25)=9με

Η αποθήκη θα χτιστεί σε
20+2+9=31με

13.ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Είναι μάλλον αναμενόμενο ότι δεν θα χρειαστεί και άλλος πίνακας αφού το Υ και το ζητούμενο εκφράζονται σε ίδιες μονάδες (μέρες)

14.ΕΠΙΛΟΓΟΣ
Προσπάθησα να αναδείξω την κρυφή γοητεία που βρίσκεται ακόμη και στην ύλη του δημοτικού .
Απαιτούνται Συγκέντρωση ,όρεξη, λίγος ελεύθερος χρόνος, πείσμα, Εμποδίζουν Κινητό ,πολύς ελεύθερος χρόνος και βεβιασμένη αντίληψη προσαρμογής στη γνώση που παρέχει το σχολείο
Ελπίζω να τα κατάφερα
ΡΟΔΟλΦΟΣ . ΜΠΟΡΗΣ

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

14.ΕΠΙΛΟΓΟΣ
Προσπάθησα να αναδείξω την κρυφή γοητεία που βρίσκεται ακόμη και στην ύλη του δημοτικού .

Ελπίζω να τα κατάφερα
ΡΟΔΟλΦΟΣ . ΜΠΟΡΗΣ

Tα κατάφερες. Σε ευχαριστούμε για αυτήν τη δημοσίευση...