Τριχοτόμηση της οξείας γωνίας

[Μιχάλης Νάννος]

Παραθέτω ένα άρθρο από την τοπική εφημερίδα "Η ΝΕΑ ΣΑΛΑΜΙΝΑ" τεύχος Μαίου 2009 (σελ. 15). Διαβάστε προσεχτικά και περιμένω τα σχόλια σας.

Μιχάλης Νάννος

[Mihalis_Lambrou]

Παραθέτω ένα άρθρο από την τοπική εφημερίδα "Η ΝΕΑ ΣΑΛΑΜΙΝΑ" τεύχος Μαίου 2009 (σελ. 15). Διαβάστε προσεχτικά και περιμένω τα σχόλια σας.

Μιχάλης Νάννος

Το λάθος είναι στην τέταρτη παράγραφο, γραμμή 6:

Η κατασκευή των με δεν αρκεί για να φτιάξουμε τρίγωνο με γωνίες τις δύο αυτές και εξωτερική την δοθείσα. Π.χ. αν έπαιρνα
τότε ποιος μου λέει ότι οι τρεις αυτές φτιάχνουν τρίγωνο;
Το να φτάξεις τρίγωνο πρέπει ΕΚ ΠΡΟΟΙΜΙΟΥ να λάβεις ,
δηλαδή ΝΑ ΕΧΕΙΣ ΗΔΗ τριχοτομήσει την δοθείσα. Με άλλα λόγια η "κατασκευή" πέφτει σε φαύλο κύκλο.

Δυστυχώς οι εφημερίδες δημοσιεύουν άκριτα, χωρίς να ελέγξουν τι γράφουν. Διακομωδούνται περισσότερο από τον επίδοξο τριχοτόμο!

Μιχάλης Λάμπρου

[Demetres]

Δυστυχώς οι εφημερίδες δημοσιεύουν άκριτα, χωρίς να ελέγξουν τι γράφουν. Διακομωδούνται περισσότερο από τον επίδοξο τριχοτόμο!

Διακομωδούνται μόνο στα μάτια μας. Δεν νομίζω να υπάρχουν πολλοί μη μαθηματικοί που να γνωρίζουν την διαφορά μεταξύ

"Οι μαθηματικοί δεν κατάφεραν να τριχοτομήσουν την γωνία."

και

"Οι μαθηματικοί απέδειξαν πως υπάρχουν γωνίες οι οποίες δεν μπορούν να τριχοτομηθούν χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη."

[k-ser]

Μιχάλη, μια ερώτηση - απορία: Δεν έχει αποδειχθεί ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα δεν έχει λύση;
Αυτό, μαθηματικά, σημαίνει ότι κάθε λύση είναι... κατά λάθος.
Έχει υπόψιν του ο..."πατέρας της τριχοτόμησης" τι σημαίνει η έκφραση: ένα πρόβλημα έχει αποδειχθεί ότι δεν έχει λύση;
Μαθηματικά: έχει λυθεί!

[Mihalis_Lambrou]

Διακομωδούνται μόνο στα μάτια μας. Δεν νομίζω να υπάρχουν πολλοί μη μαθηματικοί που να γνωρίζουν την διαφορά μεταξύ

"Οι μαθηματικοί δεν κατάφεραν να τριχοτομήσουν την γωνία."

και

"Οι μαθηματικοί απέδειξαν πως υπάρχουν γωνίες οι οποίες δεν μπορούν να τριχοτομηθούν χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη."

Έχεις δίκιο, αλλά ο σωστός κριτής είναι, για να θυμηθούμε τον Πλάτωνα, οι επαίοντες.
Στα μαθηματικά θέματα είναι οι Μαθηματικοί, όχι οι δημοσιογράφοι. Γι αυτό η εφημερίδα όφειλε να ζητήσει την γνωμάτευση Μαθηματικού.

Σε ένα αρχαίο κείμενο υπάρχει η εξής ιστορία:

Όταν ο Φειδίας έφτιαξε ένα μαρμάρινο άγαλμα της Αφροδίτης, κάποιος παπουτσής του υπέδειξε ότι είχε κάνει λάθος στο σανδάλι της καλλονής.
Αμέσως ο Φειδίας πήρε σφυρί και σκαρπέλο και σμίλευσε σωστά το σανδάλι.
Μόλις τέλειωσε, ο παπουτσής είπε στον Φειδία ότι και η γάμπα της Αφροδίτης ήταν λάθος.
«’Έως εδώ» απάντησε ο Φειδίας. «Σε θέματα υποδηματοποιίας, σέβομαι την γνώμη σου, αλλά σε θέματα ανατομίας του σώματος, όχι!»

Φιλικά,

Μιχάλης.

[cretanman]

Μάλλον για να συνειδητοποιήσει και ο ίδιος ο κος Μπεγνής το λάθος του, θα πρέπει να του ζητηθεί με τη μέθοδό του να τριχοτομήσει τη γωνία η οποία αποδεικνύεται στη στοιχειώδη θεωρία Galois ότι δεν τριχοτομείται (φυσικά δεν είναι και η μοναδική γωνία που δεν τριχοτομείται). Θα επανέλθω πιο βράδυ με μία απόδειξη εάν δε το κάνει κάποιος από τους δαιμόνιους αναγνώστες του forum.

Είναι στενάχωρο όμως να γίνονται ακόμη τέτοιες προσπάθειες "απόδειξης" των "άλυτων" προβλημάτων της αρχαιότητας αφού είναι γνωστό (με απόδειξη φυσικά) εδώ και μερικούς αιώνες ότι ΔΕ ΜΠΟΡΟΥΜΕ με χρήση ΜΟΝΟ κανόνα και διαβήτη:

α) να τριχοτομήσουμε μία οποιαδήποτε γωνία
β) να διπλασιάσουμε τον κύβο
γ) να τετραγωνίσουμε τον κύκλο

Μία απλή αναζήτηση στο internet μπορεί να οδηγήσει σε πολλές πληροφορίες γύρω από αυτά τα θέματα!

Αλέξανδρος

Μάλιστα αποδεικνύεται (και πάλι στη θεωρία Galois) ότι μία γωνία μπορεί να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη, αν και μόνο αν το πολυώνυμο αναλύεται (δηλαδή δεν είναι ανάγωγο) πάνω από την επέκταση του

[Mihalis_Lambrou]

Έχει υπόψιν του ο..."πατέρας της τριχοτόμησης" τι σημαίνει η έκφραση: ένα πρόβλημα έχει αποδειχθεί ότι δεν έχει λύση;

Δυστυχώς οι επίδοξοι τριχοτόμηστές γωνιών, τετραγωνιστές κύκλων και διπλασιαστές κύβων δεν έχουν καλή γνώση του αντικειμένου.
Η πείρα μου λέει ότι ξέρουν πολύ λίγα Μαθηματικά, και δεν κατανοούν που είναι το σφάλμα τους, όταν τους το υποδείξει κάποιος. Συνήθως δε, το σφάλμα είναι παιδαριώδες.

Παίρνω κάθε χρόνο αρκετά κείμενα με "λύσεις" των παραπάνω προβλημάτων.
Μιλάμε για απερίγραπτες καταστάσεις...

Το προφίλ τέτοιων ανθρώπων και πάμπολλες "λύσεις" περιγράφονται γλαφυρότατα στα υπέροχα βιβλία του Undrewood Dudley, The Trisectors (MAA 1996, ISBN 0-88385-514-3), και Mathematical Cranks (MAA 1992, ISBN 0-88385-507-0). Τα συνιστώ ΑΝΕΠΙΦΥΛΑΚΤΑ.

Με την ευκαιρία να πω ότι είχα ασχοληθεί, από την σκοπιά της Ιστορίας των Μαθηματικών, με μία πολύ ενδιαφέρουσα διαμάχη την εποχή της Τουρκοκρατίας σχετικά με έναν διπλασιασμό κύβου. Η διαμάχη άρχισε το 1756 μεταξύ του Μπαλάνου Βασιλόπουλου, που νόμισε ότι διπλασίασε τον κύβο, και τον Ευγένιο Βούλγαρη.
Το σφάλμα του Μπαλάνου Βασιλόπουλου ήταν αρκετά κρυμμένο. Δυστυχώς η διαμάχη τους ξέφυγε από τα όρια της ευπρέπειας.

Πάντως επιστράτευσαν την γνώμη του Euler (ο οποίος απάντησε) και της Maria Agnesi (που δεν απάντησε). Η επιστολή Euler, στα λατινικά, σώζεται αλλά δεν την έχω διαβάσει. Την εντόπισα όμως (μετά από ψάξε, ψάξε, ψάξε) στο αρχείο της Ακαδημίας της Αγίας Πετρούπολης. Σώζεται και η ανταπάντηση του Μπαλάνου Βασιλόπουλου, που την μελέτησα.

Τα περί της διαμάχης τα έγραψε σε ένα ΥΠΕΡΟΧΟ και σπανιότατο βιβλίο με τίτλο ΑΝΤΙΠΕΛΑΡΓΗΣΙΣ (*) ο Κοσμάς Μπαλάνος, γιός του Μπαλάνου Βασιλόπουλου. Το βιβλίο σώζεται σε ελάχιστα (δύο-τρία) αντίτυπα. Το ένα είναι στην Ρουμανική Ακαδημία (αυτό διάβασα) και σε ένα δεύτερο είχε εμφανιστεί σε δημοπρασία σπάνιων βιβλίων, αλλά δεν έμαθα ποιος το πουλούσε ή ποιος το αγόρασε.

Τα συμπεράσματά μου τα έγραψα σε ένα άρθρο με τίτλο "Μία προσπάθεια διπλασιασμού του κύβου κατά την εποχή της Τουρκοκρατίας και το κείμενο της Αντιπελάργησις". Δημοσιεύτηκε σε διάφορα μέρη. Π.χ. το έβγαλε και η ΕΜΕ χωρίς την άδειά μου και χωρίς το όνομά μου! Το πήρε από τοπική εφημερίδα της Κρήτης, όπου το πρωτοδημοσίευσα, γιατί τους άρεσε. (Φυσικά δεν έθεσα θέμα, γιατί πρωτίστως με ενδιέφερε να διαβαστεί το άρθρο. Και δε βαριέσαι ποιος το 'γραψε! Στην Ελλάδα ζούμε...).

Μόλις τελειώσω τις δουλειές μου (αυτόν τον καιρό πνίίίίίγομαι) θα σκανάρω το άρθρο και θα το αναρτήσω.

Αυτά για τώρα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


(*) ξέρετε τι θα πεί αντιπελάργησις; Είναι υπέροχη λέξη. Το θέτω ως πρόβλημα στο mathemetica να βρείτε την ερμηνεία της, για να ξεφύγουμε από το purus mathematicus.
Την ωραιότερη και περιεκτικότερη απάντηση την βρήκα στο Λεξικό της Σούδας (= καταπληκτικό Βυζαντινό λεξικό του ενδεκάτου αιώνα).

[Demetres]

(*) ξέρετε τι θα πεί αντιπελάργησις; Είναι υπέροχη λέξη.

Δεν ήξερα, αλλά στο διαδίκτυο μπορεί κανείς να βρει (σχεδόν) τα πάντα. Πράγματι πολύ όμορφη λέξη. Δεν θα γράψω την ερμηνεία. Ίσως κάποιοι με περισσότερη υπομονή και καλύτερες γνώσεις ελληνικών από εμένα να μπορέσουν να βρουν τι σημαίνει.

[lonis]

Πράγματι, ωραία λέξη και ωραιότερα τα συναισθήματα που την δημιούργησαν:

Πολλοί ήταν οι μύθοι και οι θρύλοι γύρω από τους Πελαργούς. Ένας από αυτούς έλεγε πως "όταν οι γέροι Πελαργοί χάσουν τη δύναμη και τα φτερά τους, τότε τους ζεσταίνουν οι νεαροί Πελαργοί, φροντίζουν για την τροφή τους και μαδούν τα δικά τους φτερά για να τους σκεπάσουν". Η πίστη σ` αυτή τη συγκινητική αυτοθυσία ήταν τόσο διαδεδομένη στις παραδόσεις όλων των λαών, ώστε ο νόμος που στην αρχαιότητα υποχρέωνε τα παιδιά να γηροκομούν τους γονείς τους, ήταν γνωστός με το όνομα "Πελαργικός Νόμος" και η ανταπόδοση των τροφείων από τα φιλόστοργα παιδιά στους γονείς, ονομάστηκε "αντιπελαργία" ή "αντιπελάργησις"
[Πηγή: http://www.greenapple.gr/articlesdesc.php?id=133]

Το βιβλίο του Κοσμά Μπαλάνου, στο οποίο αναφέρθηκε ο Μιχάλης, μπορείτε να το κατεβάσετε από εδώ - τα καλά της έρευνας μέσω μηχανών αναζήτησης:
http://www.scribd.com/doc/8777535/-1816.

Με αφορμή, λοιπόν, το χαριτωμένο άρθρο της εφημερίδας, είχαμε τις παρεμβάσεις του Αλέξανδρου: Μάλιστα αποδεικνύεται (και πάλι στη θεωρία Galois) ότι μία γωνία μπορεί να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη, αν και μόνο αν το πολυώνυμο αναλύεται (δηλαδή δεν είναι ανάγωγο) πάνω από την επέκταση του - και, των αστείρευτων γνώσεων, Μιχάλη.

Δε μένει παρά να ευχαριστήσουμε και τον κύριο Μπεγνή για όσα άθελά του μας πρόσφερε με αυτό τον χαοτικό τρόπο. Σκέφτομαι καμιά φορά ότι ο οικονομικός τυφώνας που ζούμε, μπορεί να προκαλέσει ακόμη και το πέταγμα μιας πεταλούδας στην Άπω Ανατολή.

Λεωνίδας.

[dement]

Ενα αλλο χαρακτηριστικο των ψευδομαθηματικων ειναι η ιδεα που εχουν για τον εαυτο τους. Προσεξτε στο κειμενο πως μιλαει ο συγγραφεας ανερυθριαστα για 'γεωμετρια υψηλου επιπεδου' που 'θα τους αφησει ολους αφωνους'.

Μια πολυ ενδιαφερουσα αναλυση του αντικειμενου βρισκεται στο (αγγλικο) λημμα των ψευδομαθηματικων, στη Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudomathematics

Και, μακαρι να βγω ψευτης, αλλα φοβαμαι οτι προκειται συντομως να λαβουμε γνωση απο πρωτο χερι...

Δημητρης Σκουτερης

[vittasko]

Αγωνία και πρώτιστο μέλημα για κάθε ερασιτέχνη, (πρέπει να) είναι η αποφυγή του ολισθήματος προς τη γραφικότητα. Αυτό όμως καθώς φαίνεται, δεν ισχύει για κάποιους που δεν αντιστέκονται στη ματαιοδοξία τους.

Όσες έχει τύχει να δω, από τις μακροσκελείς συνήθως αποδείξεις τριχοτόμησης με τα πολύπλοκα σχήματα, αφορούν σε προσεγγιστικές γεωμετρικές κατασκευές και αυτό επιβεβαιώνεται, με οποιοδήποτε σχεδιαστικό πρόγραμμα υπολογιστή.

Κώστας Bήττας.

[papel]

To αρθρο του κ.Λαμπρου σχετικα με τον διπλασιασμό του κύβου και τις προσπαθειες που εγιναν στην Τουρκοκρατια μπορειτε να το παρετε απο εδω μια και το εχω στα αρχεια μου και που με την σειρα το πηρα απο τον ιστοτοπο της ΕΜΕ οπου ηταν αναρτημενο.Νομιζω οτι παρουσιαζει καποιο ενδιαφερον (τουλαχιστον για εμενα).

http://www.mediafire.com/download.php?m2fmke4tyzz

[perseas]

Γεια σας.

Παραθέτω την επίλυση της τριχοτομήσεως οξείας γωνίας από μια θρυλική ελληνοκεντρική ομάδα ερευνητών.

Παρακαλώ για τα σχόλια όσων έχουν ασχοληθεί ενδελεχώς με το θέμα.

ΥΓ. Εχουν διαγραφεί κάποια κομμάτια από το κείμενο που δεν έχουν σχέση με μαθηματικά και με το θέμα.

[nsmavrogiannis]

Αγαπητέ Περσέα. Κατ΄αρχάς σε καλωσορίζω στον ιστότοπο mathematica. Και συγχρόνως θα ήθελα να υπενθυμίσω ότι στον mathematica ασχολούμαστε ή προσπαθούμε να ασχοληθούμε με την Μαθηματική. Επιστήμη που έχει τους κανόνες της, τις αποδεικτικές διαδικασίες της, και τα εδραιωμένα συμπεράσματα της. Το θέμα της τριχοτόμησης (με τον κανόνα και τον διαβήτη) της τυχούσας γωνίας είναι λυμένο από τον 19ο αιώνα και έχει αποδειχθεί το αδύνατον της κατασκευής. Συνεπώς όχι μόνο περισσεύουν οι προσπάθειες του οποιουδήποτε μοχθούντος τριχοτόμου και η παράκμψη θεωρημάτων (διότι περί αυτού πρόκειται). Ομοίως περισσεύουν και άλλες προ-επιστημονικές δράσεις όπως λ.χ. η ενασχόληση με την Βασκανία, την χειρομαντεία, το βουντού κ.α. Δεν μας ενδιαφέρουν ούτε καν σαν γραφικό απομεινάρι μιας σκέψης του παρελθόντος. Ούτε για αστείο!
Μαυρογιάννης

[perseas]

Ευχαριστώ για το καλωσόρισμα αλλά Θα προτιμούσα κάποια σχόλια αφού τουλάχιστον πρώτα το μελετήσετε.
Η συγκεκριμένη λύση δεν πραγματοποιείται μονον με κανόνα και διαβήτη αλλά εμπεριέχει και γνώμονα, συγκεκριμένα ολίσθηση πακτωμένου συστήματος ορθογώνιου γνώμονα και κανόνα (ή γεωμετρικού Ταυ)
Ξέχασα να σας ευχηθω Χρόνια Πολλά για τις γιορτινές μέρες και επιτυχημένες αδογμάτιστες μαθηματικές αναζητήσεις!!

[Demetres]

Εκτός από την χρήση του ορθογώνιου γνώμονα που είναι έξω απ' τους επιτρεπόμενους κανόνες γίνεται και σημάδεμα του κανόνα (σε δύο σημεία) που επίσης είναι έξω απ' τους κανόνες. (Δεν έχω ελέγξει την ορθότητα της κατασκευής με την χρήση αυτών των επιπλέον εργαλείων.)

Τέτοια απόδειξη με κανόνα, διαβήτη και σημάδεμα του κανόνα σε ένα μόνο σημείο ήταν εις γνώσιν του Αρχιμήδη.

Το πρόβλημα της τριχοτόμησης όμως της γωνίας είναι διαφορετικό. Ρωτά αν μπορούμε να τριχοτομήσουμε οποιαδήποτε γωνία μόνο με την χρήση κανόνα και διαβήτη. Όπως έχει ήδη αναφερθεί η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα είναι αρνητική.

[perseas]

Ευχαριστώ για την απάντηση.
Οταν γράφεις ότι είναι έξω από τους κανόνες, τι εννοείς;
Το ζητούμενο δεν είναι η γεωμετρική τριχοτόμηση;
Έδώ βλέπουμε χρησιμοποιεί ένα επιπλέον εργαλείο, τον ορθογώνιο γνώμονα αλλά φαίνεται να τον χρησιμοποιεί ως ενιαίο σύστημα με τον κανόνα!.
Συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι η τριχοτόμιση επιτυγχάνεται με αυτή τη μέθοδο των 3ων εργαλείων; (Τα 2 εργαλεία όμως κοινά ... πάκτωση και ολίσθηση);

Για τον Αρχιμήδη έχεις κάποιο βιβλίο να με προτείνεις που αναφέρει την μέθοδο με το σημάδεμα; (και εδώ φαίνεται να σημαδεύει το πακτωμένο σύστημα *-* *-* αλλά μάλλον με άλλο τρόπο)

[grigkost]

Το θέμα της τριχοτόμησης (με τον κανόνα και τον διαβήτη) της τυχούσας γωνίας είναι λυμένο από τον 19ο αιώνα και έχει αποδειχθεί το αδύνατον της κατασκευής. Συνεπώς όχι μόνο περισσεύουν οι προσπάθειες του οποιουδήποτε μοχθούντος τριχοτόμου και η παράκαμψη θεωρημάτων (διότι περί αυτού πρόκειται).

...Ρωτά αν μπορούμε να τριχοτομήσουμε οποιαδήποτε γωνία μόνο με την χρήση κανόνα και διαβήτη. Όπως έχει ήδη αναφερθεί η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα είναι αρνητική.

Όταν οί επισημάνσεις (οί υπογραμμίσεις δικές μου) καί τού Νίκου καί τού Δημήτρη είναι απολύτως σαφείς καί η απάντηση τού persea είναι

Οταν γράφεις ότι είναι έξω από τους κανόνες, τι εννοείς;
Το ζητούμενο δεν είναι η γεωμετρική τριχοτόμηση;
Έδώ βλέπουμε χρησιμοποιεί ένα επιπλέον εργαλείο, τον ορθογώνιο γνώμονα αλλά φαίνεται να τον χρησιμοποιεί ως ενιαίο σύστημα με τον κανόνα!.

...θά πρότεινα νά προσθέσουμε στά γεωμετρικά εργαλεία ένα...μοιρογνωμόνιο, ώστε νά έχουμε μιά εύκολη καί άμεση τριχοτόμηση γωνίας!

[Mihalis_Lambrou]

Ευχαριστώ για την απάντηση.
Οταν γράφεις ότι είναι έξω από τους κανόνες, τι εννοείς;

Αγαπητέ persea, παρακαλώ λάβε σοβαρά υπόψη τα παρακάτω:

Το mathematica είναι επιστημονικό μαθηματικό φόρουμ, και η ψευδοεπιστήμη είναι έξω από τα ενδιαφέροντά του.

Είναι αλήθεια ότι στο φόρουμ αυτό ενθαρρύνουμε οποιονδήποτε θέλει να βελτιώσει τις μαθηματικές του γνώσεις. Παράλληλα όμως, αποθαρρύνουμε οτιδήποτε κινείται σε αυθαίρετες ερμηνείες, συστηματικές παρανοήσεις και ατεκμηρίωτες απόψεις.

Για να έρθω στο προκείμενο: Είναι σαφές (καθότι ομολογείται στην παραπάνω φράση που σημείωσα με κόκκινο) ότι επιχειρείς τριχοτόμηση γωνίας χωρίς να έχεις κατανοήσει το πρόβλημα.

Με λίγα λόγια, όταν λέμε "γεωμετρική κατασκευή με κανόνα και διαβήτη" της τριχοτόμου εννοούμε χρήση ΜΟΝΟ αυτών των δύο οργάνων. Η απαίτηση αυτή πηγάζει από το πρώτο και τρίτο αξίωμα στα Στοιχεία του Ευκλείδη:

α) Ητήσθω από παντός σημείου εις παν σημείον ευθείαν γραμμήν αγαγείν
β) και παντί κέντρω και διαστήματι κύκλον γράφεσθαι

Οι κατασκευή σου έχει εκ προοιμίου μη αποδεκτή κατασκευή καθώς χρησιμοποιεί άλλα όργανα πέραν των επιτρεπτών.

Αυτό από μόνο του δεν είναι μεπτό. Π.χ. κατασκευές με άλλα όργανα υπάρχουν πάμπολλες. Μερικές από αυτές έρχονται από την αρχαιότητα και χρησιμοποιούν την λεγόμενη "νεύση" . Τέτοια είναι η τριχοτόμηση του Νικομήδη με κογχοειδογράφο και του Αρχιμήδη με έλικα.

Η διαφορά της δικής σου κατασκευής (που επίσης χρησιμοποιεί νεύση σε ένα βήμα) είναι ότι οι αρχαίες κατασκευές από γεωμετρικής σκοπιάς είναι ορθές ενώ η δική σου, λυπάμαι που το λέω, βρίθει σφαλμάτων.

Δεν είναι εδώ ο τόπος να καταγράψω το πολλά σφάλματα της κατασκευής σου. Θα το έκανα, αλλά προτιμώ να κρατήσω το φόρουμ στα επίπεδα που έχουμε συνηθίσει έως τώρα. Με λίγα λόγια, δεν επιτυγχάνεται τριχοτόμηση, ακόμα και αν δεχθούμε χρήση άλλων οργάνων πέρα του κανόνα και διαβήτη ή της νεύσης, όπως της πάκτωσης ή της ολίσθησης.

Για τον Αρχιμήδη έχεις κάποιο βιβλίο να με προτείνεις που αναφέρει την μέθοδο με το σημάδεμα;

Όλες οι Ιστορίες των Μαθηματικών που έχουν κεφάλαιο για τα αρχαία ελληνικά Μαθηματικά, αναφέρονται στην μέθοδο του Αρχιμήδη. Το αρχικό κείμενο είναι από το Περί Λημμάτων του, Πρόταση 8. Άλλη πηγή μας για τριχοτομήσεις με νεύση είναι η Συναγωγή του Πάππου. Ας προσθέσω ότι και ο Απολλώνιος είχε γράψει Περί νεύσεων, αλλά δυστυχώς το κείμενό του έχει σήμερα χαθεί.

Για να συνοψίσω:

Αγαπητέ persea, παρακαλώ

Πρώτα μελέτησε τα περί γεωμετρικών κατασκευών. Διάβασε αρχαία κείμενα και σύγχρονες Γεωμετρίες. Διάβασε απίσης τα παραπάνω μηνύματα, ιδίως το δικό μου με ημερομηνία 28 Απριλίου και του dement με ημερομηνία 29 Απριλίου.

Όταν και άμα κατανοήσεις το θέμα, το φόρουμ μας θα σε υποδεχθεί με ανοικτές αγκάλες. Τα Μαθηματικά είναι το ζητούμενο εδώ. Τα υπόλοιπα είναι εκτός.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[perseas]

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Όπως βλέπετε είμαι άκρως ευγενικός και το μόνο που ζητάω είναι τουλάχιστον μια ανταπόδοση της ευγένιας.
Καταρχάς δεν είναι δική μου η επίλυση αυτό το ξεκαθάρισα από την αρχή. Αν ήταν δική μου θα μπορούσα να απαντήσω κιόλας επαρκώς. Δεν πουλάω εξυπνάδες με ξένα κόλυβα.
Αυτό που ζητάω είναι κάποια σχόλια πάνω σε μια λύση τρίτου (μάλλον ομάδας ερευνητών). Αν μπορείτε να επισημάνετε τα λάθη και να τα τεκμηριώσετε θα ήταν ευτυχές.