Ο χρυσός και άλλα μέταλλα

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12645
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο χρυσός και άλλα μέταλλα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 11, 2011 8:00 pm

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών

για τους οποίους ισχύουν : \begin{cases} 
x^{2}=1-y & \text{  }   \\  
 y^{2}=1-x& \text{  }    
\end{cases}


stavros11
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 07, 2010 11:30 am
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Ο χρυσός και άλλα μέταλλα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavros11 » Παρ Μαρ 11, 2011 9:15 pm

Από αφαίρεση κατά μέλη του συστήματος που δίνεται παίρνουμε:

\displaystyle{x^2-y^2=1-y-1+x\Rightarrow (x+y)(x-y)-(x-y)=0\Rightarrow (x-y)(x+y-1)=0}

Άρα πρέπει \displaystyle{x=y} ή \displaystyle{x=1-y}

Αν \displaystyle{x=y}
\displaystyle{y^2=1-y\Rightarrow y^2+y-1=0\Rightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \; \eta  \; y=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
Άρα παίρνουμε τις λύσεις \displaystyle{x=y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} και \displaystyle{x=y=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}

Αν \displaystyle{x=1-y}
\displaystyle{y^2=1-1+y\Rightarrow y^2-y=0\Rightarrow y(y-1)=0\Rightarrow y=0 \; \eta \; y=1}
Άρα παίρνουμε τις λύσεις \displaystyle{x=1, y=0} και \displaystyle{x=0, y=1}

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη \displaystyle{(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}), (-\frac{1+\sqrt{5}}{2},-\frac{1+\sqrt{5}}{2}), (1,0), (0,1)}


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ο χρυσός και άλλα μέταλλα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Μαρ 11, 2011 9:42 pm

Μία λίγο διαφορετική λύση

\left\{ \begin{array}{l} 
 x^2  = 1 - y\;\left( 1 \right) \\  
 y^2  = 1 - x\;\left( 2 \right) \\  
 \end{array} \right.
Πρέπει x \le 1 και y \le 1

Από την (1) είναι y = 1 - x^2 και αντικαθιστώντας στη (2) μετά από πράξεις έχουμε:

\begin{array}{l} 
 x^4  - 2x^2  + x = 0 \Leftrightarrow  \\  
 x\left( {x^3  - 2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  \\  
 x\left( {x^3  - x - x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  \\  
 x\left[ {x\left( {x^2  - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow  \\  
 x\left( {x - 1} \right)\left( {x^2  + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  \\  
 \end{array}

x = 0 ή x = 1 ή x^2  + x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} ή x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} (δεκτές όλες)
Αν x = 0 τότε y = 1

Αν x = 1 τότε y = 0

Αν x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow x =-\phi τότε
y = 1- \left({\frac{{- 1-\sqrt 5 }}{2}} \right)^2 \Leftrightarrow y =1-\frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{ -2- 2\sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow y=-\frac{{1+\sqrt5 }}{2}

Αν x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} τότε
\displaystyle{y = 1 - \left( {\frac{{ -1 +\sqrt 5 }}{2}} \right)^2  \Leftrightarrow y = 1 - \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{ - 2 + 2\sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} 
}


Ηλίας Καμπελής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες