Μη γραμμικό σύστημα 3x3

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4891
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μαρ 28, 2011 11:01 pm

Μία παράκληση:

Κράτησα την παρακάτω άσκηση (πολύ πιθανό από το mathematica), αλλά δυστυχώς δεν σημείωσα την προέλευσή της. Αν κάποιος την αναγνωρίζει, ας δώσει κάποια στοιχεία ταυτότητας!

Αν οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί x,y,z ικανοποιούν το σύστημα \left\{ \begin{array}{l} 
 x^3  + \alpha x + \beta  = 0 \\  
 y^3  + \alpha y + \beta  = 0 \\  
 z^3  + \alpha z + \beta  = 0 \\  
 \end{array} \right\}, όπου \alpha ,\beta  \in R, να αποδείξετε ότι x + y + z = 0

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Εννοείται αν κάποιος θέλει να προτείνει λύση, ελεύθερα...


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6322
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Μαρ 28, 2011 11:16 pm

Μία γρήγορη λύση πέρα από τις γνώσεις της Α' Λυκείου:

Από τις εξισώσεις βλέπουμε ότι τα \displaystyle{x,y,z} είναι οι ρίζες της εξίσωσης \displaystyle{t^3+at+b=0}

και επειδή ο συντελεστής του \displaystyle{t^2} στην εξίσωση είναι ίσος με το \displaystyle{0}, το άθροισμα των ριζών θα ισούται με το \displaystyle{0}.


Μάγκος Θάνος
ΚωσταςΚ
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Δευ Ιαν 17, 2011 10:37 pm

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚωσταςΚ » Δευ Μαρ 28, 2011 11:19 pm

Μπορούμε να το θεωρήσουμε ομογενές οπότε και προφανης λύση ειναι η (x,y,z)=0 άρα x+y+z=0??


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6913
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Μαρ 28, 2011 11:21 pm

Kαλησπέρα Γιώργο.
Nομίζω πως είναι άμεση εφαρμογή των τύπων Vieta για την εξίσωση:\displaystyle{ 
k^3  + ak + \beta  = 0 
}
Αφού ο συντελεστής του \displaystyle{ 
x^2  
} είναι μηδέν τότε \displaystyle{ 
x + y + z = 0 
}
:ugeek: Με πρόλαβαν!
Πάω για ύπνο...Καληνύχτα


Χρήστος Κυριαζής
GMANS
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Τρί Μαρ 29, 2011 12:01 am

Μια λύση χωρίς Vieta

Αφαιρώντας ανά δύο τις δοσμένες σχέσεις έχουμε

x^2+xy+y^2=-a(1)
y^2+yz+z^2=-a (2)
z^2+zx+x^2=-a (3)
οπότε
(1)-(2) \Rightarrow (x-z)(x+z)+y(x-z)=0
\Rightarrow x+y+z=0


Γ. Μανεάδης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4891
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μαρ 29, 2011 12:14 am

Ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση και την προέκταση της άσκησης με "εκτός νόμου" μεθόδους :lol:

Μια πιο σχολική αντιμετώπιση που επεξεργάστηκα είναι η εξής:

Είναι: \displaystyle 
\left\{ \begin{array}{l} 
 x^3  + \alpha x + \beta  = 0\;\;(1) \\  
 y^3  + \alpha y + \beta  = 0\;\;(2) \\  
 z^3  + \alpha z + \beta  = 0\;\;(3) \\  
 \end{array} \right. με διαφορετικούς ανά δύο τους πραγματικούς αριθμούς x, y, z και πραγματικούς α, β.

Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (1) έχουμε:

\displaystyle 
{\rm{x}}^{\rm{3}}  - y^3  + \alpha \left( {x - y} \right) = 0 \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x^2  + xy + y^2  + \alpha } \right) = 0 \\ 
\\ 
\Rightarrow \;x^2  + xy + y^2  + \alpha  = 0\;\left( 4 \right)

Ομοίως από από (1) – (3) έχουμε: \displaystyle 
x^2  + xz + z^2  + \alpha  = 0\;\;\left( 5 \right)

Αφαιρώντας κατά μέλη: (4) – (5) έχουμε:

\displaystyle 
y^2  - z^2  + x\left( {y - z} \right) = 0 \Rightarrow \left( {y - z} \right)\left( {y + z + x} \right) = 0 \Rightarrow y + z + x = 0 ο.ε.δ.

Επί του αρχικού θέματος: Όσον αφορά την πατρότητα της άσκησης ξέρει κανείς κάτι;

edit: Όταν έγραφα τα παραπάνω δεν είχα δει την "νόμιμη" Λυκειακή αντιμετώπιση του GMANS.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6163
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μαρ 29, 2011 12:24 am



Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6322
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μαρ 29, 2011 12:27 am

Και έλεγα ότι κάτι μου θύμιζε. Ου γαρ έρχεται μόνον.... :redface_anim:


Μάγκος Θάνος
ΚωσταςΚ
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Δευ Ιαν 17, 2011 10:37 pm

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚωσταςΚ » Τρί Μαρ 29, 2011 1:32 pm

Μπορεί κάποιος να απαντήσει στην ερώτηση μου?


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6913
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Μαρ 29, 2011 1:36 pm

Kώστα μπορείς να προσδιορίσεις πως το θεωρείς ομογενές(προφανώς γραμμικό για να καταλήγεις εκεί που καταλήγεις;)
Εννοώ ποιές είναι οι μεταβλητές;


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4891
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μαρ 29, 2011 11:24 pm


Θανάση (socrates), σε ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση!

Ομολογώ ότι δεν περίμενα να βρει κάποιος την πηγή της άσκησης, αν δεν την είχε προτείνει ή επιλύσει πρόσφατα.

Τι να πω! Η δυναμική της άμεσης επικοινωνίας του mathematica εξακολουθεί να με εκπλήσει διαρκώς!


Ευχαριστώ και τους φίλους που συμμετείχαν στη συζήτηση.

Υ.Γ. (1) Θανάση, θα μπορούσες να πείσεις την Ελένη (Μ.) να συμμετέχει στις συζητήσεις μας;
Υ.Γ. (2) Ο Λεωνίδας σου στέλνει τους χαιρετισμούς του.
matha έγραψε: Και έλεγα ότι κάτι μου θύμιζε. Ου γαρ έρχεται μόνον.... :redface_anim:
Δεν λες τίποτα αγαπητέ εεε... matha ... Συγνώμη ξέχασα πώς είναι το ονοματάκι σας :lol: :lol: :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4891
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Σεπ 14, 2012 3:29 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Αν οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί x,y,z ικανοποιούν το σύστημα \left\{ \begin{array}{l} 
 x^3  + \alpha x + \beta  = 0 \\  
 y^3  + \alpha y + \beta  = 0 \\  
 z^3  + \alpha z + \beta  = 0 \\  
 \end{array} \right\}, όπου \alpha ,\beta  \in R, να αποδείξετε ότι x + y + z = 0
Περσινό, αλλά καλό!

Δείτε το συνημμένο αρχείο Geogebra. Έχω φράξει κατάλληλα τις μεταβλητές a, b, ώστε η εξίσωση x^3  + \alpha x + \beta  = 0 να έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Προσθέτοντας τις τετμημένες των σημείων επαφής, παρατηρούμε ότι το άθροισμα είναι 0.

Θέτω τώρα, το εξής ερώτημα (ΓΙΑ ΕΠΙΠΕΔΟ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ):
Ποιες οι τιμές των a, b για να έχει τρεις ρίζες η εξίσωση;
Συνημμένα
systhma 3x3.ggb
(5.67 KiB) Μεταφορτώθηκε 18 φορές


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8628
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Σεπ 15, 2012 11:51 am

Θεωρούμε την έκφραση \Delta = (x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2 (η οποία είναι η διακρίνουσα του τριωνύμου). Παρατηρούμε ότι

- Αν το τριώνυμο έχει διπλή (ή τριπλή) ρίζα τότε \Delta = 0.
- Αν το τριώνυμο έχει πραγματικές διακεκριμένες ρίζες τότε \Delta > 0.
- Αν το πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα, έστω x = a+ib όπου b \neq 0, τότε και το a-ib είναι ρίζα έστω y = a-ib. Τότε το z πρέπει να είναι πραγματικός. Αλλά τότε έχουμε \Delta = (2ib)^2((a-z)+ib)^2((a-z)-ib)^2 = -4b^2((a-z)^2 + b^2)^2 < 0.

Επομένως το τριώνυμο έχει τρεις πραγματικές διακεκριμένες ρίζες αν και μόνο αν \Delta > 0. Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Vieta x+y+z=0,xy+yz+zx=\alpha,xyz=-\beta μετά από αρκετές άχαρες πράξεις τις οποίες και παραλείπω έχουμε \displaystyle{ \Delta = -4\alpha^3 - 27\beta^2} και άρα το τριώνυμο έχει τρεις διακεκριμένες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν -4\alpha^3 - 27\beta^2 < 0.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4891
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μη γραμμικό σύστημα 3x3

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Σεπ 15, 2012 8:53 pm

Ευχαριστώ τον Δημήτρη για την ενασχόλησή του.

Η δική προσέγγιση είναι η παρακάτω. Δεν μπορώ να συγκρίνω τις δύο προσεγγίσεις, αν δηλαδή δίνουν ισοδύναμες συνθήκες. Θα ήθελα τις γνώμες των ειδικών για την ορθότητα της προσέγγισής μου.

Επαναλαμβάνω ότι με πλήρη συνείδηση παρεκτρέπομαι από την ύλη του φακέλου της άσκησης. Αν νομίζετε ότι χρειάζεται, ας γίνει μεταφορά του θέματος π.χ. στο φάκελο του καθηγήτη.


Η συνάρτηση \displaystyle 
f\left( x \right) = x^3  + ax + b,\;x \in \Re είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle 
f'\left( x \right) = 3x^2  + a.

Αν \displaystyle 
a \ge 0, τότε \displaystyle 
f'\left( x \right) > 0 για κάθε \displaystyle 
x \in \Re, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα και έχει μοναδική ρίζα.

Για \displaystyle 
a < 0 είναι \displaystyle 
f'\left( x \right) > 0 για \displaystyle 
x <  - \sqrt {\frac{{ - a}}{3}} \;\; \wedge \;\;x > \sqrt {\frac{{ - a}}{3}} και \displaystyle 
f'\left( x \right) < 0 για \displaystyle 
 - \sqrt {\frac{{ - a}}{3}}  < x < \sqrt {\frac{{ - a}}{3}}

Παρουσιάζει μέγιστο το \displaystyle 
A\left( { - \sqrt {\frac{{ - a}}{3}} ,\;f\left( { - \sqrt {\frac{{ - a}}{3}} } \right)} \right) και ελάχιστο το \displaystyle 
B\left( {\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} ,\;f\left( {\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} } \right)} \right)

Οπότε για να έχει τρεις διακριτές ρίζες η εξίσωση \displaystyle 
f\left( x \right) = 0 πρέπει και αρκεί

\displaystyle 
f\left( { - \sqrt {\frac{{ - a}}{3}} } \right) > 0 \Leftrightarrow  - \left( {\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} } \right)^3  - a \cdot \sqrt {\frac{{ - a}}{3}}  + b > 0 και
\displaystyle 
f\left( {\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} } \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} } \right)^3  + a \cdot \sqrt {\frac{{ - a}}{3}}  + b > 0 με a < 0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες