ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

mathxl · #1

Μία άσκηση που δεν έχω καταφέρει να λύσω και με παιδεύει άσχημα...

Έστω f άρτια και συνεχής στο R. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ πραγματικός ώστε $\displaystyle{\displaystyle f\left( \xi \right) = \ln \left( {2 + {\xi ^2}} \right)\int\limits_x^\xi {f\left( t \right)dt} ,\forall x \in R}$

Επειδή δεν ξέρω με ποιες ακριβώς γνώσεις λύνεται το τοποθετώ εδώ. Αργότερα βλέπουμε

#2

Μήπως θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ υπάρχει $\xi$ (δηλαδή το $\xi$ εξαρτάται κάθε φορά από το

) (και όχι ότι το $\xi$ παραμένει σταθερό ανεξάρτητα με την επιλογή του

έτσι?) ? Αν ναι τότε νομίζω δε χρειάστηκα πουθενά το γεγονός ότι η f είναι άρτια!

Λοιπόν καταρχήν βρίσκουμε μία αντιπαράγωγο της συνάρτησης $-ln\left(2+x^2\right)$ η οποία είναι η $g(x)=-xln\left(2+x^2\right)+2x-2\sqrt{2}\arctan\left(\displaystyle\frac{1}{2}x\sqrt{2}\right)$

και πλέον θέλουμε να δείξουμε ότι η ως προς

εξίσωση $F^{\prime}(r)+(g(r))^{\prime}F(r)=0$ , όπου $F(r)=\displaystyle\int_x^{r}f(t)dt$ έχει λύση για κάθε $x\in\mathbb{R}$ δηλαδή αν πολλαπλασιάσουμε την τελευταία με $e^{g(r)}$ θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση $\left(F(r)e^{g(r)}\right)^{\prime}=0$ έχει λύση για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $G(r)=F(r)e^{g(r)}$ η οποία ορίζεται στο (0,x)

και για την οποία ισχύει

G(0)=G(x)=0

άρα υπάρχει $\xi (=\xi(x) ) \in (0,x)$ τέτοιο ώστε $G^{\prime}(\xi)=0$ που είναι και το ζητούμενο.

EDIT: Η παραπάνω "λύση" είναι λάθος διότι δεν προκύπτει από πουθενά ότι G(0)=0

(δεν ξέρω και αν ισχύει καν). Ευχαριστώ τους hsiodos και maths-!!! που μου το επεσήμαναν

Αλέξανδρος

mathxl · #3

Την απορία σου Αλέξανδρε μου την εξέφρασε και ο Γιώργος (hsiodos) σε προσωπικό μήνυμα. Ναι το ξ πρέπει λογικά να εξαρτάται από την τιμή του χ

Πολύ ωραία η λύση σου

Αν και βρήκα την αρχική της ελενίτσας το τόξο εφαπτομένης με έκανε να την παρατήσω...

#4

cretanman έγραψε: .... Αν ναι τότε νομίζω δε χρειάστηκα πουθενά το γεγονός ότι η f είναι άρτια! ...
....

Το παραπάνω είναι λάθος βιασύνης! Το γεγονός ότι η f είναι άρτια χρειάζεται για να καλύψουμε και τα αρνητικά

διότι στην προηγούμενη απόδειξη καλύψαμε μόνο τα θετικά! Οπότε πλέον η άσκηση είναι πλήρης!

Αλέξανδρος

#5

Με πρόλαβε ο Αλέξανδρος

Μόνο να πω ότι δεν είναι ανάγκη να βρούμε μια αντιπαράγωγο. Αρκεί που είναι αρτια ln(2+x^2)

οπότε για το $h(x)=-\int_{a}^{x}{ln(2+t^2)dt}$ ισχύει h(a)=h(-a)=0

τελειώνουμε με
Rolle στην $f(x)e^{h(x)}$ στο [-a,a]

ΑΚΥΡΗ ΛΥΣΗ
ΛΑΘΟΣ ΠΡΑΞΕΩΝ
ΖΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ

#6

R BORIS έγραψε:Με πρόλαβε ο Αλέξανδρος

Μόνο να πω ότι δεν είναι ανάγκη να βρούμε μια αντιπαράγωγο. Αρκεί που είναι αρτια οπότε για το $h(x)=-\int_{a}^{x}{ln(2+t^2)dt}$ ισχύει τελειώνουμε με
Rolle στην $f(x)e^{h(x)}$ στο

Πράγματι!! Φοβερή λύση κ. Μπόρη η οποία με κατάλληλα ερωτήματα κάνει και για μαθητή Κατεύθυνσης (χωρίς να χρειάζεται η γνώση της συνάρτησης $\arctan{x}$ ).

Αλέξανδρος

#7

R BORIS έγραψε:Με πρόλαβε ο Αλέξανδρος

Μόνο να πω ότι δεν είναι ανάγκη να βρούμε μια αντιπαράγωγο. Αρκεί που είναι αρτια οπότε για το $h(x)=-\int_{a}^{x}{ln(2+t^2)dt}$ ισχύει τελειώνουμε με
Rolle στην $f(x)e^{h(x)}$ στο
ΑΚΥΡΗ ΛΥΣΗ
ΛΑΘΟΣ ΠΡΑΞΕΩΝ
ΖΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ

Υποψιάζομαι ότι έχει ξεχαστεί ένα ξ δηλαδή η εκφώνηση να λέει $\xi ln(2+\xi ^2)$ για να ισχύει Rolle. Τότε $h(x)=-\int_{a}^{x}{tln(2+t^2)dt}$
Αλλιως η g που αναφέρει ο Αλέξανδρος είναι 1-1 και δεν εφαρμόζεται Rolle στην κατάλληλη συνάρτηση και άλλο τρόπο (Fermat) ωστε να προκύψει ρίζα της παραγώγου δεν βλέπω
Αν μπορείς πες μας που βρήκες αυτή την άσκηση
Πάντως θέλει περισσότερο έλεγχο ακόμη

hsiodos · #8

R BORIS έγραψε:
R BORIS έγραψε: Υποψιάζομαι ότι έχει ξεχαστεί ένα ξ δηλαδή η εκφώνηση να λέει $\xi ln(2+\xi ^2)$ για να ισχύει Rolle. Τότε $h(x)=-\int_{a}^{x}{tln(2+t^2)dt}$
Αλλιως η g που αναφέρει ο Αλέξανδρος είναι 1-1 και δεν εφαρμόζεται Rolle στην κατάλληλη συνάρτηση και άλλο τρόπο (Fermat) ωστε να προκύψει ρίζα της παραγώγου δεν βλέπω
Αν μπορείς πες μας που βρήκες αυτή την άσκηση
Πάντως θέλει περισσότερο έλεγχο ακόμη

Καλημέρα

Έχω προσπαθήσει και με Bolzano στην αρχική συνάρτηση (αν τα πάμε στο πρώτο μέλος και όπου ξ to t) φτάνω σε κάποια πράγματα αλλά δεν καταλήγω.
Έχω κάνει αρκετές " προσομοιώσεις" με Geogebra και " φαίνεται" το ζητούμενο να ισχύει.
Πάντως Βασίλη αν θέλεις επιβεβαίωσε την διατύπωση.

Γιώργος

hsiodos · #9

Καλό (αλλά και καυτό) μεσημέρι.

Αν $a\in R$ θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει $\xi \in R$ (εξαρτώμενο από το α) τέτοιο ώστε $f(\xi )-ln(2+\xi ^2)\int_{a}^{\xi }{f(t)dt}=0$ (1)

Αν f(a)=0

τότε η (1) ισχύει αν $\xi =a$

Έστω $f(a)\neq 0\,\,\,\,\pi \chi \,\,\,\,f(a)>0$

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)= f(x )-ln(2+x ^2)\int_{a}^{x }{f(t)dt}$

Είναι g(a)=f(a)>0

και (εδώ αρχίζουν τα δύσκολα) $g(-a)= f(-a )-ln(2+a ^2)\int_{a}^{-a }{f(t)dt}$ (2)

Επειδή η f άρτια το πρόσημο του g(-α) δεν είναι "ορατό'' (Δεν "σκάμε" βέβαια απλά χρειαζόμαστε μια οποιαδήποτε αρνητική τιμή της g). Επειδή εκεί κολλάω , δέχομαι πως η g δεν έχει αρνητικές τιμές μήπως και φτάσω σε άτοπο. Βρίσκω έτσι δύο συναρτήσεις (η μία του Αλέξανδρου) αύξουσες αλλά και πάλι τίποτα.

Τα γράφω αυτά για δύο λόγους:

1. Πιθανόν ο τρόπος που ακολουθώ να "δουλεύει" αλλά κάτι να μην είδα ή κάτι να μην σκέφθηκα που όμως μπορεί να το δει ή να το σκεφθεί κάποιος άλλος.

2. Επίσης παρατήρησα το εξής: Αν η f ήταν περιττή τότε από την (2) προκύπτει εύκολα g(-a)=-f(a)<0

οπότε "καθαρίζει" ο Bolzano για την συνεχή g στο διάστημα [-α , α] ή [α , -α].
Θέλω να παρακαλέσω επομένως τον Βασίλη να ξαναδεί την "πηγή" ώστε τουλάχιστον να είμαστε βέβαιοι για το τι ψάχνουμε να βρούμε.

Γιώργος

mathxl · #10

Λοιπόν έψαξα και δεν βρίσκω την ηλεκτρονική διεύθυνση που πήρα την άσκηση. Θυμάμαι όμως ότι ήταν μία δημοσίευση του lupu την οποία κορόιδευαν οι harazi, perfect radio ως τετριμμένη (περί φλιτ) και πετάχτηκε ο Diogene(αυτουνού είναι η άσκηση) και έδωσε αυτήν την άσκηση ρωτώντας τους εάν μπορούν να την λύσουν...(η άσκηση δεν λύθηκε εκεί)

Σκέψεις
Το ρολ θα έπρεπε να εφαρμόζεται στην $\displaystyle{\displaystyle g\left( x \right) = \int\limits_\alpha ^x {f\left( t \right)dt} \cdot {e^{ - \int\limits_\alpha ^x {\ln \left( {2 + {t^2}} \right)dt} }},x \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]}$

Η g ως ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή

H αδυναμία ισότητας τιμών για ρολ μας οδηγεί σε ατοπο.

Έστω λοιπόν ότι είναι $\displaystyle{f\left( x \right) - \ln \left( {2 + {x^2}} \right)\int\limits_\alpha ^x {f\left( t \right)dt} \ne 0,\forall x \in \left( - \alpha ,\alpha \right),\alpha \in R}$ τότε ως συνεχής θα διατηρεί πρόσημο και χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας υποθέσουμε ότι
$\displaystyle{f\left( x \right) - \ln \left( {2 + {x^2}} \right)\int\limits_\alpha ^x {f\left( t \right)dt} > 0,\forall x \in \left( { - \alpha ,\alpha } \right),\alpha \in R}$

Για χ= -α λόγω συνέχειας θα είναι $\displaystyle{\diplsaystyle f\left( { - \alpha } \right) - \ln \left( {2 + {\alpha ^2}} \right)\int\limits_\alpha ^{ - \alpha } {f\left( t \right)dt} \ge 0}$

Τότε η g είναι γνησίως αύξουσα (έχει θετική παράγωγο στο (-α,α) )και μάλιστα αρνητική γιατί για χ < α είναι g(x) < g(α)=0 (έχουμε υποθέσει ότι α>0), από εδώ παίρνουμε κα ότι $\displaystyle{{\int\limits_\alpha ^x {f\left( t \right)dt} < 0,\forall x \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right),\alpha \in R}}$

Συνεπώς μέγιστο είναι το 0 και ελάχιστο το $\displaystyle{\displaystyle g\left( { - \alpha } \right) = \int\limits_\alpha ^{ - \alpha } {f\left( t \right)dt} \cdot {e^{ - \int\limits_\alpha ^{ - \alpha } {\ln \left( {2 + {t^2}} \right)dt} }}}$

Αυτά για την ώρα ... γράφω για να αρπάξουν συνάδελφοι ιδέες και να έχουμε μία λύση

ΥΓ1: Βλέπω ότι όσο έγραφα, έγραφε και ο Γιώργος και απότι βλέπω για τον ίδιο λόγο γράψαμε τις σκέψεις μας. Απάντηση για την πηγή δίνω παραπάνω
ΥΓ2: Η ηλεκτρονική διεύθυνση http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=48163. odd είναι άρτια ή περιττή;;;;; Το μετέφρασα ως άρτια. Αν είναι περιττή τα πράγματα είναι εύκολα.Τώρα που το θυμάμαι ο Ροδόλφος είχε λύσει μία άσκηση και διόρθωσε το άρτια σε περιττή...είχε πάλι την λέξη odd στην εκφώνηση....Εάν πρόκειται για λάθος μου, στην μετάφραση της άσκησης ζητώ συγνώμη

mathxl · #11

gah όντως λάθος στην μετάφραση http://en.wikipedia.org/wiki/Even_and_o ... tions...κα πάλι συγνώμη

mathxl · #12

Οι παραπάνω ιδέες σε pdf
ΥΓ: Η εκφώνηση θέλει αλλαγή, συγκεκριμένα το άρτια να γίνει περιττή

ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Re: ΎΠΑΡΞΗ 7,23983465908374

Μέλη σε σύνδεση