Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

Συντονιστής: spyros

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5352
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Σεπ 08, 2009 11:45 pm

Σε ένα ξενόγλωσσο βιβλίο βρήκα για την τάξη 10( κάτι σαν Α΄Λυκείου δηλαδή) την

παρακάτω άσκηση. Η άσκηση ήταν πολλαπλής επιλογής με σωστή απάντηση (C.1/9).

Αυτό που θα ήθελα να δω είναι πώς θα βρίσκαμε το ελάχιστο της συνάρτησης , αν δεν δίνονταν οι πιθανές απαντήσεις και μάλιστα χωρίς ανάλυση(παραγώγους κλπ). Με κάποιες προσπάθειες που έκανα δεν βρήκα τίποτα. Αν βρείτε χρόνο , ρίξτε μια ματιά. Διαφορετικά την εκφώνηση θα την κάνουμε : '' να αποδείξετε ότι το ελάχιστο της συνάρτησης ....., είναι το 1/9 '', οπότε η άσκηση κυλάει σχετικά μέτρια.

ΑΣΚΗΣΗ

ΝΑ βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης

f(x) = \displaystyle\frac {8^x +27^x}{3 \cdot 12^x + 8 \cdot 18^x + 5 \cdot 27^x}

Μπάμπης

( Με την ευκαιρία, πώς μεγαλώνω τα γράμματα στο TEX, όταν γράφω απευθείας με εντολές και δεν χρησιμοποιώ editor ή math type ; )


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 09, 2009 12:35 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε ένα ξενόγλωσσο βιβλίο βρήκα για την τάξη 10( κάτι σαν Α΄Λυκείου δηλαδή) την

παρακάτω άσκηση. Η άσκηση ήταν πολλαπλής επιλογής με σωστή απάντηση (C.1/9).

Αυτό που θα ήθελα να δω είναι πώς θα βρίσκαμε το ελάχιστο της συνάρτησης , αν δεν δίνονταν οι πιθανές απαντήσεις και μάλιστα χωρίς ανάλυση(παραγώγους κλπ). Με κάποιες προσπάθειες που έκανα δεν βρήκα τίποτα. Αν βρείτε χρόνο , ρίξτε μια ματιά. Διαφορετικά την εκφώνηση θα την κάνουμε : '' να αποδείξετε ότι το ελάχιστο της συνάρτησης ....., είναι το 1/9 '', οπότε η άσκηση κυλάει σχετικά μέτρια.

ΑΣΚΗΣΗ

ΝΑ βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης

f(x) = \frac {8^x +27^x}{3 \cdot 12^x + 8 \cdot 18^x + 5 \cdot 27^x}

Μπάμπης
Υπόδειξη: Ο αριθμητής είναι (2^x + 3^x)(4^x - 6^x + 9^x) και ο παρονομαστής (2^x + 3^x)(3.6^x + 5.9^x).
Μετά την απλοποίηση του κοινού παράγοντα, θέτουμε A = \frac{2^x}{3^x}.
Η παράσταση τώρα γίνεται \frac{A^2 - A +1}{3A + 5}.
Καθώς μεταβάλεται το x, το Α διατρέχει όλες τις θετικές τιμές. Και λοιπά (θα βγει Α = 2/3, δηλαδή χ = 1).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Σεπ 09, 2009 12:54 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: Υπόδειξη: Ο αριθμητής είναι (2^x + 3^x)(4^x - 6^x + 9^x) και ο παρονομαστής (2^x + 3^x)(3.6^x + 5.9^x).
Μετά την απλοποίηση του κοινού παράγοντα, θέτουμε A = \frac{2^x}{3^x}.
Η παράσταση τώρα γίνεται \frac{A^2 - A +1}{3A + 5}.
Καθώς μεταβάλεται το x, το Α διατρέχει όλες τις θετικές τιμές. Και λοιπά (θα βγει Α = 2/3, δηλαδή χ = 1).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου
Extraordinary!
Από το A Beautiful Mind (η φράση που είπε ο στρατηγός όταν ο Nash έσπασε τους κώδικες).

Μιχάλη άφησε μας και λίγη διαθέσιμη ακοή. Μου αρέσει η κλασική μουσική και κινδυνεύω να χάσω όλα τα adagio. Να είσαι καλά!
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2690
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Σεπ 09, 2009 3:16 am

Αρχιζω με το "και λοιπα" του Μιχαλη, συνεχιζω με την δικη μου προσεγγιση, και τελειωνω με ενα ερωτημα...

-- Για να βρουμε, *χωρις παραγωγιση*, το ελαχιστο της (Α^2 - Α + 1)/(3Α + 5) αναζητουμε μεγιστο μ τετοιο ωστε (Α^2 - Α + 1)/(3Α + 5) >= μ για καθε Α > 0, δηλαδη αναζητουμε μεγιστο μ τετοιο ωστε Α^2 - (3μ+1)Α + (1-5μ) >= 0 για καθε Α > 0: αυτο οπως γνωριζουμε συμβαινει οταν η διακρινουσα ειναι μηδεν, οταν δηλαδη 9(μ^2) + 26μ - 3 = 0 και (θετικη ριζα) μ = 1/9.

-- Στην δικη μου προσεγγιση διαιρεσα αριθμητη και παρονομαστη με 8^χ και, θετοντας (3/2)^χ = ψ, κατεληξα στο ελαχιστο της (1 + ψ^3)/[3ψ + 8(ψ^2) + 5(ψ^3)] = (1 - ψ + ψ^2)/[3ψ + 5(ψ^2)]: οπως και παραπανω καταληγουμε στην εξισωση 9(μ^2) + 26μ - 3 = 0 και στο ελαχιστο 1/9.

-- Αρχικα μου διεφυγε η παραγοντοποιηση/απλοποιηση και ανηγαγα την ελαχιστοποιηση της (1 + ψ^3)/[3ψ + 8(ψ^2) + 5(ψ^3)] στην μεγιστοποιηση της [3ψ + 8(ψ^2) + 5(ψ^3)]/(1 + ψ^3) = 5 + [8(ψ^2) + 3ψ - 5]/(ψ^3 + 1): μπορουμε με παραγωγιση να δουμε οτι το μεγιστο εμφανιζεται στο ψ = 3/2 και ισουται με 5 + 4 = 9 (αρα το ελαχιστο ειναι, βεβαιως, 1/9), αλλα *πως* μπορουμε να καταληξουμε στο ιδιο συμπερασμα χωρις παραγωγιση? Για να συνοψισω, παραβλεποντας το αρχικο ερωτημα, πως βρισκουμε το μεγιστο της [8(ψ^2) + 3ψ - 5]/(ψ^3 + 1) χωρις παραγωγιση?

Γιωργος Μπαλογλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5352
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Σεπ 09, 2009 12:11 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε ένα ξενόγλωσσο βιβλίο βρήκα για την τάξη 10( κάτι σαν Α΄Λυκείου δηλαδή) την

παρακάτω άσκηση. Η άσκηση ήταν πολλαπλής επιλογής με σωστή απάντηση (C.1/9).

Αυτό που θα ήθελα να δω είναι πώς θα βρίσκαμε το ελάχιστο της συνάρτησης , αν δεν δίνονταν οι πιθανές απαντήσεις και μάλιστα χωρίς ανάλυση(παραγώγους κλπ). Με κάποιες προσπάθειες που έκανα δεν βρήκα τίποτα. Αν βρείτε χρόνο , ρίξτε μια ματιά. Διαφορετικά την εκφώνηση θα την κάνουμε : '' να αποδείξετε ότι το ελάχιστο της συνάρτησης ....., είναι το 1/9 '', οπότε η άσκηση κυλάει σχετικά μέτρια.

ΑΣΚΗΣΗ

ΝΑ βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης

f(x) = \frac {8^x +27^x}{3 \cdot 12^x + 8 \cdot 18^x + 5 \cdot 27^x}

Μπάμπης
Υπόδειξη: Ο αριθμητής είναι (2^x + 3^x)(4^x - 6^x + 9^x) και ο παρονομαστής (2^x + 3^x)(3.6^x + 5.9^x).
Μετά την απλοποίηση του κοινού παράγοντα, θέτουμε A = \frac{2^x}{3^x}.
Η παράσταση τώρα γίνεται \frac{A^2 - A +1}{3A + 5}.
Καθώς μεταβάλεται το x, το Α διατρέχει όλες τις θετικές τιμές. Και λοιπά (θα βγει Α = 2/3, δηλαδή χ = 1).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου
Μιχάλη , ευχαριστούμε πολύ ! Δυστυχώς για μένα ....το βασικό και αρχικό ερώτημα παραμένει : Μπορούμε άραγε να βρούμε το ελάχιστο της παράστασης που προέκυψε χωρίς ανάλυση ; Αυτό είναι που με παιδεύει !!! Γιατί μέχρι εδώ τον ίδιο δρόμο ακολούθησα και γω .
Δεν αποκλείεται όμως να έχει ξεφύγει το πρόβλημα από το συγγραφέα και να της πρότεινε σε μικρίτερη τάξη από παραδρομή.

Μπάμπης

Προσθήκη :
Μόλις είδα και την ωραία αντιμετώπιση του κυρίου Μπαλόγλου. Συγνώμη που δεν την είδα αμέσως .Λύση λοιπόν τελείως στοιχειώδης έχει βρεθεί !


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Σεπ 09, 2009 1:58 pm

Ναι αν θέσουμε \displaystyle{y=3A+5} τότε \displaystyle{\frac{A^2-A+1}{3A+5}=\frac{y^2-13y+49}{9y}=\frac{y}{9}+\frac{49}{9y}-\frac{13}{9}\ge \sqrt{49/81}-13/9=\frac{-2}{3}},y>0 από Cauchy το = ισχύει όταν \displaystyle{\frac{y}{9}=\frac{49}{9y}\Rightarrow y=7\Rightarrow A=2/3\Rightarrow x=1}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 09, 2009 2:41 pm

Πολύ ωραία η προσέγγισή σου Ροδόλφε.

Ο τρόπος που είχα κατά νου είναι η εξής γενική στρατηγική:Γράφουμε το κλάσμα ως

\frac{\alpha \rho \iota \theta \mu \eta \tau \eta \varsigma }{\pi \alpha \rho o \nu o \mu \alpha \sigma \tau \eta \varsigma } = \frac {A(\kappa \alpha \tau \iota )^2 + B(\pi \alpha \rho o \nu o \mu \alpha \sigma \tau \eta \varsigma )}{\pi \alpha \rho o \nu o \mu \alpha \sigma \tau \eta \varsigma } = B + A(\theta \epsilon \tau \iota \kappa o).

Στην περίπτωσή μας είναι \frac{x^2 - x + 1}{3x+5}= \frac{A(x-c)^2 + B(3x+5)}{3x+5}. Τα Α, Β, c θα τα βρούμε συγκρίνοντας συντελεστές. Θα βγει
\frac{x^2 - x + 1}{3x+5}= \frac{(x- \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{9}(3x+5)}{3x+5} = \frac{1}{9} + \frac{(x- \frac{2}{3})^2 }{3x+5}
και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5352
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Σεπ 09, 2009 4:35 pm

Πολύ ωραία !

Σας ευχαριστώ όλους, διότι μου εξοικονομήσατε πολύτιμο χρόνο !

Μπάμπης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες