Γεωτριγονωμετρία!

Συντονιστής: spyros

glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

Γεωτριγονωμετρία!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Δευ Μάιος 21, 2018 10:55 pm

Ορθογώνιο.png
Ορθογώνιο.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Έστω ορθογώνιο AB\Gamma \Delta μεA\Delta =a, AB =b.

Να βρεθεί η tan \omega συναρτήσει των πλευρών a,b


Λίνος Γιαννάκης

Λέξεις Κλειδιά:
AIAS
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Δευ Ιουν 24, 2013 1:27 pm

Re: Γεωτριγονωμετρία!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AIAS » Δευ Μάιος 21, 2018 11:25 pm

\tan \dfrac{\omega }{2} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \tan \omega  = \dfrac{{2\dfrac{a}{b}}}{{1 - {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2}}} = \dfrac{{2ab}}{{{b^2} - {a^2}}}


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 977
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Γεωτριγονωμετρία!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Μάιος 21, 2018 11:27 pm

\varepsilon \varphi \omega =\frac{2\alpha b}{b^{2}-\alpha ^{2}}.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3474
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Γεωτριγονωμετρία!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 21, 2018 11:35 pm

Δουλεύω στο επόμενο σχήμα:

\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=1.5] 
\draw [shift={(0,0)},color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (0,0) -- (153.43:0.6) arc (153.43:206.57:0.6) -- cycle; 
\draw [shift={(0,0)},color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0,0) -- (26.57:0.6) arc (26.57:153.43:0.6) -- cycle; 
\draw (-2,1)-- (-2,-1); 
\draw (-2,-1)-- (2,-1); 
\draw (2,-1)-- (2,1); 
\draw (-2,1)-- (2,1); 
\draw (-2,1)-- (2,-1); 
\draw (-2,-1)-- (2,1); 
\draw (-2,1)-- (0,0); 
\draw (0,0)-- (2,-1); 
\draw (-2,-1)-- (0,0); 
\draw (0,0)-- (2,1); 
\begin{scriptsize} 
\fill <span style="color: black"> (-2,1) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (-2,1) node[above] {A}; 
\fill <span style="color: black"> (-2,-1) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (-2,-1) node[below] {B}; 
\fill <span style="color: black"> (2,-1) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (2,-1) node[below]{\text{\gr Γ}}; 
\fill <span style="color: black"> (2,1) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (2,1) node[above] {\text{\gr Δ}}; 
\fill <span style="color: black"> (0,0) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (0, -0.2) node {E}; 
\draw (0, 1) node[above]{\text{\gr α}}; 
\draw (-2, 0) node[left]{\text{\gr β}}; 
\end{scriptsize} 
\end{tikzpicture}}


Ας δηλώσουμε με \omega τη πράσινη γωνία. Τότε η γκρίζα γωνία είναι παραπληρωματική αυτής. Συμφέρει να δουλέψουμε με τη γκρίζα γωνία. Το \mathrm{E} είναι το μέσο των διαγωνίων του παραλληλογράμμου. Από Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι \mathrm{A \Gamma} = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}. Οπότε επειδή το \mathrm{AE \Delta} είναι ισοσκελές τρίγωνο θα είναι


\displaystyle{\mathrm{AE} = \mathrm{A \Delta}  = \frac{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}{2}}


Από νόμο συνημιτόνων θα είναι


\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathrm{A \Delta}^2 = \mathrm{AE}^2 + \mathrm{E \Delta}^2 -2 \mathrm{AE} \cdot \mathrm{E \Delta} \cdot \cos \left ( 180^\circ - \omega \right ) &\Leftrightarrow  \beta^2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2} + \frac{ \sqrt{\alpha^2+\beta}^2 \cos \omega}{2}\\  
 &\Leftrightarrow \beta^2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2} + \frac{ \left ( \alpha^2 + \beta^2 \right ) \cos \omega}{2} \\  
 &\Leftrightarrow  \frac{\beta^2-\alpha^2}{ \alpha^2 + \beta^2} = \cos \omega  
\end{aligned}}


Από τη βασική σχέση \sin^2 \omega + \cos^2 \omega =1 θα είναι


\displaystyle{\begin{aligned} 
\sin \omega &= \sqrt{1 - \cos^2 \omega} \\  
 &=\sqrt{1 - \frac{\left (\beta^2-\alpha^2 \right )^2}{\left ( \alpha^2+\beta^2 \right )^2}} \\  
 &= \sqrt{\frac{\left ( \alpha^2+\beta^2 \right )^2 - \left ( \beta^2-\alpha^2 \right )^2}{\left ( \alpha^2+\beta^2 \right )^2}} \\ 
&= \frac{2 \alpha \beta}{\alpha^2 + \beta^2} 
\end{aligned}}


Τέλος,


\displaystyle{\tan \omega = \frac{\sin \omega}{\cos \omega} = \frac{\frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}{\frac{\beta^2-\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2}} = \frac{2\alpha \beta}{\beta^2-\alpha^2}}


που συμφωνεί με τους φίλους επάνω. :) :)


Έκανα τα εύκολα δύσκολα ε ; Δε χρειάζεται καν η γκρίζα γωνία. Δε πειράζει...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

Re: Γεωτριγονωμετρία!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Τρί Μάιος 22, 2018 4:21 pm

Αλλιώς...

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου με βάση τις διαγωνίους του.

Έστω D_1,D_2 οι διαγώνιοι του. Τότε

E(AB\Gamma \Delta )=ab=\dfrac{1}{2}D_1D_2\cdot sin\omega

Προφανώς D_1=D_2=\sqrt{a^2+b^2}, και άρα

\dfrac{1}{2}D_1^2\cdot sin\omega=ab \Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2}\cdot sin\omega=ab \Leftrightarrow sin\omega=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}.

Από την ταυτότητα sin^2\omega+cos^2\omega=1

βρίσκουμε το cos\omega=\dfrac{| a^2-b^2|}{a^2+b^2}

άρα tan\omega=\dfrac{2ab}{| a^2-b^2 |}

εφόσον το AB\Gamma \Delta δεν είναι τετράγωνο.
τελευταία επεξεργασία από glinos σε Πέμ Μάιος 24, 2018 10:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Λίνος Γιαννάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6964
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωτριγονωμετρία!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 23, 2018 12:22 am

glinos έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 10:55 pm
Ορθογώνιο.pngΈστω ορθογώνιο AB\Gamma \Delta μεA\Delta =a, AB =b.

Να βρεθεί η tan \omega συναρτήσει των πλευρών a,b
Γεωτριγωνομετρία.png
Γεωτριγωνομετρία.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Έστω a<b. Είναι \displaystyle ab = AH \cdot DB \Leftrightarrow AH = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}

\displaystyle O{H^2} = A{O^2} - A{H^2} \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} - \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow OH = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}

\displaystyle \tan \omega  = \frac{{AH}}{{OH}} \Leftrightarrow \boxed{\tan \omega  = \frac{{2ab}}{{{b^2} - {a^2}}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης