Πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=x^x.

[BGNMK]

Με αφορμή μια άσκηση (B' λυκείου άλγεβρα 17.25) από το βιβλίο των κ.κ.Στεργίου-Νάκη θα ήθελα να συζητήσουμε για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=x^x (σε επίπεδο σχολικό-εξετάσεων). Μια παλιά δημοσίευση στον Ευκλείδη Β' ερευνά επαρκώς το θέμα. Σε μαθητές Β' και Γ' λυκείου τι απαντάμε;

[Kercyn]

Τι άλλο μπορεί να είναι;

[BGNMK]

Αν το x είναι ακέραιος τότε μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές. π.χ. f(-2)=1/4

[Kercyn]

Χμ...

Επειδή έχω κάνει ασκήσεις πάνω στις παραγώγους με , πάντα παίρνουμε το . Φαντάζομαι ορίζεται και για ή οτιδήποτε τέτοιο, αλλά η απάντηση που πήρα είναι ότι εκθετικές θεωρούνται για .

[mathxl]

Σε σχολικό επίπεδο (συναρτήσεις που ορίζονται σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων) θεωρούμε σύονο ορισμού το (0,+οο)

[chris]

Σωστά. Εξάλλου αναφερόμαστε σε σύνολο τιμών και όχι σε μεμονωμένες τιμές

[nsmavrogiannis]

Το θέμα μας έχει απασχολήσει αρκετά και στο παρελθόν (ενδεικτικά: viewtopic.php?f=52&t=3782, viewtopic.php?f=61&p=19186#p19186).
Στην Γ' τάξη τα πράγματα είναι ξεκάθαρα (αναφέρθηκε σε αυτό ο Βασίλης) μιας και τα ξεκαθαρίζει το σχολικό βιβλίο της τάξης αυτής.
Για την Β' τάξη τα πράγματα είναι πιο μπερδεμένα διότι κατ΄αρχάς ισχύει η ρήτρα για το "ευρύτερο" σύνολο που ο τύπος έχει νόημα (τωρινό βιβλίο της Α΄σελίδα 65). Το βιβλίο της B' (σελίδα 124) ορίζει την συνάρτηση μόνο για . Ωστόσο αυτό δεν εμποδίζει κάποιον να πάρει τοις μετρητοίς τα περί ευρύτερου δυνατού συνόλου που ορίζεται ο τύπος και να πει ότι ορίζεται και σε αρνητικούς αριθμούς αρκεί να είναι ακέραιοι. Βέβαια χρωστάει και κάποια εξήγηση γιατί αποκλείει άλλους αρνητικούς αριθμούς λ.χ. κάποιους αρνητικούς ρητούς. Διότι ναι μεν το βιβλίο της Β' (σελίδα 122) ορίζει δυνάμεις με ρητό εκθέτη και βάση πάντα θετική αλλά σημειώνει ότι "ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρούνται οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων". Τι θα συμβεί αν κάποιος πει ότι "δεν με ενδιαφέρει αν διατηρούνται οι ιδιότητες των δυνάμεων. Εγώ ορίζω, αφού μπορώ, και ρίζες με περιττό δείκτη και αρνητικό υπόρριζο οπότε !" Το πράγμα θα είχε τελειώσει αν από την αρχή-αρχή στην Α' τάξη κλείδωνε το θέμα με την σημείωση ότι όλα τα πεδία ορισμού θα είναι μη τετριμμένα διαστήματα ή ενώσεις διαστημάτων. Δυστυχώς ούτε στην νέα έκδοση (σελίδα 100) έχει αλλάξει κάτι σε αυτό το θέμα οπότε ανά την επικράτεια όλο και θα δίνονται περίεργες συναρτήσεις των οποίων θα ζητείται το πεδίο ορισμού. Αυτή την αναζήτηση κάποιοι την λατρεύουν. Προσωπικά αν για κάποιο λόγο ήθελα οι μαθητές μου να ασχοληθούν με αυτή την συνάρτηση θα φρόντιζα να την ορίσω στο
Μαυρογιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

Με αφορμή μια άσκηση (B' λυκείου άλγεβρα 17.25) από το βιβλίο των κ.κ.Στεργίου-Νάκη θα ήθελα να συζητήσουμε για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=x^x (σε επίπεδο σχολικό-εξετάσεων). Μια παλιά δημοσίευση στον Ευκλείδη Β' ερευνά επαρκώς το θέμα. Σε μαθητές Β' και Γ' λυκείου τι απαντάμε;

Εϊναι όντως ένα ζήτημα που αν και χωρίς ιδιαίτερο μαθηματικό ενδιαφέρον, μας έχει απασχολήσει πολλές φορές.
α) Όσον αφορά τη συνάρτηση στην Γ΄Λυκείου , όλα έχουν τακτοποιηθεί με του σχετικούς ορισμούς. Απαιτούμε και τελειώνουμε αισίως εδώ.

β) Στη Β' Λυκείου και ειδικά στις εκθετικές εξισώσεις , τα πράγματα είναι κάπως διαφορετικά . Εκεί , σε εξισώσεις της μορφής δεχόμαστε και αρνητικές βάσεις, με τις γνωστές βέβαια προϋποθέσεις : να έχουμε ακέραιους εκθέτες κλπ.
Για παράδειγμα, στην εξίσωση , δεχόμαστε τη λύση .

Εδώ δεν έχει σημασία τι είναι σωστό - όλοι ξέρουν τι είναι το σωστό - αλλά πώς τίθενται οι ορισμοί και κάποιες ...συμβάσεις. Διότι αν βάλεις τους μαθηματικούς να αποφασίσουν αν η τιμή στην παραπάνω εξίσωση είναι λύση,χωρίς να τους πεις σε ποια τάξη αναφέρεσαι , τότε θα γίνουν δυο στρατόπεδα και θα έχουν και τα δύο δίκαιο !!!

Μέχρι σήμερα λοιπόν , από όσα έχουμε συζητήσει ως μαθηματική κοινότητα σε περιοδικά και επιστημονικές συναντήσεις, προκύπτει ότι την τιμή αυτή θα τη δεχτούμε ως λύση(για τη Β΄Λυκείου).Αυτό άλλωστε είναι και το πνεύμα του σχολικού βιβλίου που περιγράφεται στην λύση της Γενικής άσκησης 1 , σελίδα148.Να σημειώσουμε επίσης ότι στη Β΄Λυκείου δεν έχει ορισθεί ακόμα η συνάρτηση ή παρόμοιες συναρτήσεις.Είναι προφανώς άλλη η συνάρτηση που μελετάμε στην τάξη αυτή.Περιοριζόμαστε λοιπόν μόνο στην επίλυση εξισώσεων .... εκθετικής μορφής.
Στην Γ΄Λυκείου, και εφόσον έχει προηγουμένως ορισθεί στην άσκηση η συνάρτηση , τότε αυτή θα ορισθεί στο θετικό ημιάξονα και έτσι στην εξίσωση η τιμή θα απορριφθεί.

Είναι λοιπόν πρωτίστως ζήτημα ορισμού . Αν λείπει ο ορισμός και η συμβατική τακτοποίηση, τότε ως πεδίο ορισμού εκλαμβάνουμε το ''ευρύτερο σύνολο '', στο οποίο έχουν νόημα τα παρουσιαζόμενα σύμβολα.Ωστόσο αναφύονται και ερωτήματα που έβαλε ο Νίκος Μαυρογιάννης(πχ τι μας πειράζει στο για να μην το δεχτούμε σε κάποια εξίσωση ως ρίζα, αν είναι ρίζα ; )

Στην Β΄Λυκείου λοιπόν με αυτό το σκεπτικό αντιμετωπίζουμε το ζήτημα. Στο βοήθημα ακολουθήσαμε με το συνάδελφο το πνεύμα του βιβλίου και τίποτα περισσότερο. Στα βοηθήματα η προσωπική παρέμβαση αφορά τις επεξηγήσεις κυρίως των εννοιών , όπως αυτές ορίζονται στα σχολικά βιβλία , και λιγότερο την παρουσίαση διαφορετικών ορισμών ή ερμηνειών. Κι αυτό διότι οι μαθητές μας εξετάζονται με βάση το σχολικό βιβλίο και όχι με το πώς θα θέλαμε εμείς να είναι το σχολικό βιβλίο.Εξαίρεση μπορεί να αποτελέσουν μόνο κραυγαλέες περιπτώσεις , που κατά τη γνώμη μου δεν παρουσιάζονται στα παρόντα βιβλία , αλλά ούτε μπορεί ένα άτομο να τις αλλάξει, όσο και να διαφωνεί, όταν διαφωνεί .

Μπάμπης

[mathxl]

Από την απάντηση μου φαίνεται να ίσχυρίζομαι ότι αυτά που έγραψα ισχύουν για όλες τις τάξεις. Με αυτό το μήνυμα ξεκαθαρίζω ότι αναφέρθηκα μόνο σε γ΄λυκείου. Δεν πρόσεξα καθόλου ότι ο συνάδελφος ρωτά και για την β΄. Συμφωνώ με αυτά που έγραψαν οι Νίκος και Μπάμπης.

[Α.Κυριακόπουλος]

Βλέπε άρθρο μου εδώ viewtopic.php?f=60&t=632

[BGNMK]

Σας ευχαριστώ όλους για την συζήτηση. Ως επίλογο θα ήθελα να δούμε πως απαντάμε σε ένα καλό μαθητή που μας ρωτά για τις συναρτήσεις f(x)=x επί x^x (δηλαδή x^(x+1) με πρόσθεση των εκθετών) και g(x)=x^(x+1) αν είναι ίσες. Πάντως η δεύτερη ορίζεται και στο 0 ενώ f(x)=g(x) στο (0,+οο).