Σελίδα 1 από 1
Δύσκολο Όριο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm
από TrItOs
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
Μπορεί να γίνει εφαρμογή της συνάρτησης
, με κάποιο τρόπο , επειδή αυτή η συνάρτηση είναι κυρτή ;
και επιπλέον νομίζω ότι μπορεί να εφαρμοσθεί και το θεώρημα Stolz - Cesaro
Re: Δύσκολο Όριο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 13, 2020 10:43 pm
από Λάμπρος Κατσάπας
TrItOs έγραψε: ↑Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
Το όριο είναι
Μπορούμε να εφαρμόσουμε το παρακάτω γενικό αποτελέσμα (Tannery's theorem):
Έστω ότι η σειρά
συγκλίνει για κάθε
.
Επίσης, έστω ότι για κάθε
ισχύει
για κάθε
και η σειρά
συγκλίνει.
Τότε
Εδώ θα θεωρήσουμε
και
Είναι
και
Υπάρχουν και άλλες λύσεις.
Edit: Διόρθωση τυπογραφικού. Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση.
Re: Δύσκολο Όριο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 13, 2020 10:45 pm
από Tolaso J Kos
TrItOs έγραψε: ↑Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
Βγάζω
. Απλά σπάστε το σε κλάσματα .. Μετά είναι άπειρο άθροισμα γεωμετρικής προόδου.
Re: Δύσκολο Όριο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 13, 2020 10:59 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Μαρ 13, 2020 10:45 pm
TrItOs έγραψε: ↑Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
Βγάζω
. Απλά σπάστε το σε κλάσματα .. Μετά είναι άπειρο άθροισμα γεωμετρικής προόδου.
Τόλη δεν πάει έτσι.
Αν ήταν ετσι τότε
Re: Δύσκολο Όριο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 13, 2020 11:13 pm
από Mihalis_Lambrou
TrItOs έγραψε: ↑Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
Επειδή η
αυξάνει προς την
έχουμε
.
Επίσης για κάθε σταθερό
και για
έχουμε ότι το παραπάνω άθροισμα είναι
Παίρνοντας όριο στο δεξί μέλος παρατηρούμε ότι συγκλίνει στο
. Επειδή το το τελευταίο αυξάνει προς
έπεται από ισοσυγκλίνουσες και την
ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει και είναι ίσο με
.
Re: Δύσκολο Όριο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 13, 2020 11:24 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
TrItOs έγραψε: ↑Παρ Μαρ 13, 2020 9:38 pm
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
Είναι
για
.
και
(είναι αύξουσα η ακολουθία)
Ετσι
Από την τελευταια παίρνουμε
(1)
Εστω
σταθερό.
Για
είναι
Από την τελευταία παίρνουμε ότι
Αυτή ισχύει όμως για κάθε
.
Αρα θα είναι
(2)
Από (1),(2) έχουμε το όριο.