Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

TrItOs · #1

Να δειχθεί ότι:
$\bigg( \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b} , a - b \bigg) = \bigg( n \cdot \big( a , b \big)^{n - 1} , a - b \bigg) \quad , \\ \\ \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad , \quad a , b \in \mathbb{N} \quad , \quad a > b$

#2

Το αποτέλεσμα είναι προφανές για n=1

οπότε θα υποθέσουμε ότι $n \geqslant 2$ .

Έστω ότι a = b+k

. Τότε $\displaystyle \frac{a^n - b^n}{a-b} = \frac{(b+k)^n-b^n}{k} = \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{r}k^{i-1}b^{n-i} = nb^{n-1} + k\sum_{i=2}^{n} \binom{n}{r}k^{i-2}b^{n-i}$

Άρα $\displaystyle \left(\frac{a^n - b^n}{a-b},a-b \right) = (nb^{n-1},k).$

Έστω b = rd, k = sd

όπου

. Τότε

και παίρνουμε $\displaystyle (nb^{n-1},k) = (nr^{n-1}d^{n-1},sd) = d(nr^{n-1}d^{n-2},s) = d(nd^{n-2},s)$

Έχουμε επίσης (a,b) = (b+k,b) = (k,b) = d

άρα

$\displaystyle \left( n(a,b)^{n-1},a-b\right) = (nd^{n-1},sd) = d(nd^{n-2},s)$

οπότε έχουμε το ζητούμενο.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

Re: Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

Μέλη σε σύνδεση