Ανάλυση

Συντονιστής: spyros

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Ανάλυση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Παρ Μαρ 27, 2020 10:15 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:[ 0 , 1 ] \rightarrow [ 0 , 1 ]
η οποία είναι συνεχής και επιλέγουμε τυχαία έναν πραγματικό αριθμό x_{0} \in [ 0 , 1 ] και στη συνέχεια ορίζουμε την ακολουθία πραγματικών αριθμών
x_{1}=f(x_{0}) \quad , \quad x_{n+1} = f(x_{n}) \quad , \quad n \in \mathbb{N}
τότε να βρεθεί το \lim\limits_{n \to + \infty} x_{n}
(Αν δεν κάνω λάθος το όριο ισούται με το σταθερό σημείο της συνάρτησης  f , εφόσον και εάν υπάρχει , δηλαδή όταν  \exists l \in \mathbb{R}:l=f(l) )

Για παράδειγμα η ακολουθία
 y_{1} = \sin{(y_{0})} \quad , \quad y_{n+1} = \sin{(y_{n})} \quad , \quad \forall n \in \mathbb{N}
έχει όριο
 \lim\limits_{n \to + \infty} y_{n} = 0
τελευταία επεξεργασία από TrItOs σε Σάβ Μαρ 28, 2020 10:40 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανάλυση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 27, 2020 10:37 pm

TrItOs έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 10:15 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
η οποία είναι συνεχής και επιλέγουμε τυχαία έναν πραγματικό αριθμό x_{0} \in \mathbb{R} και στη συνέχεια ορίζουμε την ακολουθία πραγματικών αριθμών
x_{1}=f(x_{0}) \quad , \quad x_{n+1} = f(x_{n}) \quad , \quad n \in \mathbb{N}
τότε να βρεθεί το \lim\limits_{n \to + \infty} x_{n}
(Αν δεν κάνω λάθος το όριο ισούται με το σταθερό σημείο της συνάρτησης  f , εφόσον και εάν υπάρχει , δηλαδή όταν  \exists l \in \mathbb{R}:l=f(l) )
H άσκηση δεν είναι σωστή, ούτε τα συμπεράσματα που γράφεις. Για παράδειγμα η f(x)=3-x έχει σταθερό σημείο το 3/2, όμως για x_o=1 η ακολουθία παίρνει τιμές 1,\,2,\,1,\,\,2,\,1, ... . Δηλαδή δεν συγκλίνει, πόσο μάλλον να συγκλίνει ειδικά στο 3/2.

Λείπουν υποθέσεις, Υπάρχουν τέτοιου είδος θεωρήματα με επιπλέον συνθήκες στην f, όπως π.χ. να είναι συστολή.


stranger
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Ανάλυση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Μαρ 27, 2020 10:38 pm

Καταρχήν, δεν νομίζω ότι η άσκηση είναι στον σωστό φάκελο.
Δεν υπάρχει το όριο για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις.
Π.χ. αν πάρουμε f(x) = e^x τότε η f δεν έχει σταθερά σημεία, άρα το όριο δεν υπάρχει.
Το θέμα αυτό μοιάζει με την απόδειξη του θεωρήματος σταθερού σημείου του Banach, το οποίο υποθέτει ότι η συνάρτηση f είναι συστολή.
Στο θεώρημα του Banach δεν μπορούμε να βρούμε το όριο. Το μόνο που ξέρουμε είναι ότι το όριο είναι σταθερό σημείο της f.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανάλυση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μαρ 27, 2020 10:43 pm

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή.

sequence.png
sequence.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Είναι η άσκηση 21 από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της x_n είναι άλλη ερώτηση.

Τolaso J Kos έγραψε:Έστω f:[0, 1] \rightarrow [0, 1] συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε x_{n+1} = f(x_n) με x_0 \in [0, 1] όπου x_0 τυχαίο. Αν x_{n+1} - x_n \rightarrow 0 να δειχθεί ότι η x_n συγκλίνει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 633
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανάλυση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 28, 2020 2:27 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 10:43 pm
Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή.


sequence.png


Είναι η άσκηση 21 από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της x_n είναι άλλη ερώτηση.

Τolaso J Kos έγραψε:Έστω f:[0, 1] \rightarrow [0, 1] συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε x_{n+1} = f(x_n) με x_0 \in [0, 1] όπου x_0 τυχαίο. Αν x_{n+1} - x_n \rightarrow 0 να δειχθεί ότι η x_n συγκλίνει.
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 43#p299643


stranger
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Ανάλυση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Μαρ 28, 2020 2:43 am

TrItOs έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 10:15 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:[ a , b ] \rightarrow [ a , b ]
η οποία είναι συνεχής και επιλέγουμε τυχαία έναν πραγματικό αριθμό x_{0} \in [ a , b ] και στη συνέχεια ορίζουμε την ακολουθία πραγματικών αριθμών
x_{1}=f(x_{0}) \quad , \quad x_{n+1} = f(x_{n}) \quad , \quad n \in \mathbb{N}
τότε να βρεθεί το \lim\limits_{n \to + \infty} x_{n}
(Αν δεν κάνω λάθος το όριο ισούται με το σταθερό σημείο της συνάρτησης  f , εφόσον και εάν υπάρχει , δηλαδή όταν  \exists l \in \mathbb{R}:l=f(l) )
Και με την αλλαγή που έκανες πάλι ενδέχεται να μην υπάρχει το όριο.
Πάρε f:[0,1] \rightarrow [0,1] με f(x)=1-x. Αν επιλέξουμε x_0=0 τότε έχουμε την ακολουθία 0,1,0,1,0,1... που προφανώς δεν έχει όριο.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανάλυση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 28, 2020 2:44 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:27 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 10:43 pm
Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή.


sequence.png


Είναι η άσκηση 21 από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της x_n είναι άλλη ερώτηση.

Τolaso J Kos έγραψε:Έστω f:[0, 1] \rightarrow [0, 1] συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε x_{n+1} = f(x_n) με x_0 \in [0, 1] όπου x_0 τυχαίο. Αν x_{n+1} - x_n \rightarrow 0 να δειχθεί ότι η x_n συγκλίνει.
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 43#p299643

Σωστά Λάμπρο. Την είχα υπόψιν τη παραπομπή απλά δεν την έβαλα. Μπορεί κάποιος να ήθελε να τη προσπαθήσει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες