Ανισότητα

Συντονιστής: spyros

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm

Ανισότητα 1
TrItOs έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
 \cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |
για κάθε  x , y , z \in \mathbb{R}
Ανισότητα 2

Δίνονται τα διανύσματα  a , b , c \in \mathbb{R}^{n} , δείξτε ότι:
 \big[ || a || \cdot < b , c >\big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}
όπου  < x , y > είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον  \mathbb{R}^{n} ,  x , y \in \mathbb{R}^{n}

Και έκανα το εξής :
 < a , b > = || a || \cdot || b || \cdot \cos(x)
 < b , c > = || b || \cdot || c || \cdot \cos(y)
 < a , c > = || a || \cdot || c || \cdot \cos(z)
Πήρα την ζητούμενη ισότητα και ισοδύναμα κατέληξα στην
 || a ||^{2} \cdot || b ||^{2} \cdot || c ||^{2} \cdot \big[ \cos^{2}(y) + \cos^{2}(z) - \big( 1 + | \cos(x) | \big) \big] \leqslant 0
Όπου προφανώς αν το μέτρο ενός τουλάχιστον διανύσματος είναι μηδέν τότε προφανώς ισχύει οπότε τώρα για μη μηδενικά διανύσματα θέλουμε να αποδείξουμε την ανίσωση
 \cos^{2}(y) + \cos^{2}(z) \leqslant 1 + | \cos(x) | , για κάποια  x , y , z \in \mathbb{R}
Μπορείτε να με βοηθήσετε για το πως λύνεται σύμφωνα με αυτά που έχω κάνει , και βεβαίως να μου πείτε αν είναι σωστό η όλη πορεία .
Έχει ξανά αναφερθεί αυτό το πρόβλημα , το οποίο είχε τεθεί στο διαγωνισμό Seemous
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:28 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: Επαναφορά αρχικής ανάρτησης



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιούλ 17, 2020 7:38 pm

TrItOs έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
 \cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |
για κάθε  x , y , z \in \mathbb{R}
Προφανώς και δεν ισχύει. Ξανακοιτάξτε την.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3235
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 17, 2020 8:23 pm

TrItOs έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
 \cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |
για κάθε  x , y , z \in \mathbb{R}
Η σωστή είναι
 \cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |^2

οπου  x , y  \in \mathbb{R} και
z=x+iy


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιούλ 17, 2020 11:28 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 8:23 pm
TrItOs έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
 \cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |
για κάθε  x , y , z \in \mathbb{R}
Η σωστή είναι
 \cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |^2

οπου  x , y  \in \mathbb{R} και
z=x+iy
Όμορφη! Δεν τη γνώριζα. Ας τη δείξουμε.

Είναι \cos z=cos(x+iy)=\cos x\cos(iy) -\sin x\sin (iy).

Από τις e^{iy}=\cos y+i\sin y, e^{-iy}=\cos y-i\sin y έχουμε:

\cos(iy)=\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}=\cosh y,\sin(iy)=\dfrac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=i\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}=i \sinh y.

Τελικά παίρνουμε

\cos z=\cos x\cosh y -i \sin x\sinh y\Rightarrow |\cos z|^2= \cos^2 x\cosh^2 y + \sin ^2x\sinh^2 y.

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα \cosh^2 y-\sinh^2 y=1 η τελευταία δίνει

|\cos z|^2=\cos^2 x+ \sinh^2 y.

Θέλουμε τελικά να αποδείξουμε την \cos^{2}y \leqslant 1 + \sinh^2 y

δηλαδή την \cos^{2} y \leqslant 1 + \left (\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} \right )^2

ή την e^{2y}+e^{-2y}+2-4\cos^2 y\geq 0.

H τελευταία προκύπτει άμεσα με χρήση της e^y\geq y+1.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:32 pm

Έχει γίνει ένα μπέρδεμα εδώ μιας και έχουμε δυο διαφορετικές ανισότητες. Επανέφερα ένα κομμάτι στην αρχική ανάρτηση που μάλλον διαγράφηκε ή τροποποιήθηκε.

Ονόμασα τις ανισότητες 1 και 2 ώστε να ξέρουμε για ποιες μιλάμε. Η Ανισότητα 1, με κάποιες απαραίτητες διορθώσεις z=x+iy έχει λυθεί. Η Ανισότητα 2 που καταλήγει σε μια ανισότητα που μοιάζει με την Ανισότητα 1 παραμένει ανοικτή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12509
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 19, 2020 1:50 am

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:32 pm
Έχει γίνει ένα μπέρδεμα εδώ μιας και έχουμε δυο διαφορετικές ανισότητες. Επανέφερα ένα κομμάτι στην αρχική ανάρτηση που μάλλον διαγράφηκε ή τροποποιήθηκε.

Ονόμασα τις ανισότητες 1 και 2 ώστε να ξέρουμε για ποιες μιλάμε. Η Ανισότητα 1, με κάποιες απαραίτητες διορθώσεις z=x+iy έχει λυθεί. Η Ανισότητα 2 που καταλήγει σε μια ανισότητα που μοιάζει με την Ανισότητα 1 παραμένει ανοικτή.
Πράγματι μπερδεύτηκα. Τώρα με την διευθέτηση του Δημήτρη ξεκαθάρισε το τοπίο. Δημήτρη, ευχαριστούμε.

Έβαλα λύση της Ανισότητας 2 εκεί, όπου επανεμφανίζεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 7 επισκέπτες