Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4214
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Μάιος 02, 2013 11:59 am

Πριν τρεις εβδομάδες σε επαναληπτικό διαγώνισμα του σχολείου μου (http://www.nsmavrogiannis.gr/diagonisma ... /1213b.pdf) τέθηκε μεταξύ άλλων το ερώτημα:

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g\left( x\right) =\sqrt{x^{2}+1}}
1) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y=x είναι ασύμπτωτη της g για x\rightarrow +\infty.
2) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της g τέμνει την ασύμπτωτη της y=x.
.....
Το ενδιαφέρον είναι ότι υπήρξαν αρκετοί μαθητές που δεν είδαν ότι είναι αρκετό να ελέγξουν αν η εξίσωση \sqrt{x^{2}+1}=x έχει λύση (που είναι θέμα μίας αράδας) αλλά, προφανώς ακολουθώντας τις "μεθοδολογίες" που κυκλοφορούν έκαναν μελέτη της διαφοράς. Να ένα παράδειγμα αντιμετώπισης από ένα γενικά πολύ ικανό μαθητή.
Γράφει:
Θεωρώ h\left( x\right) =g(x)-x=\sqrt{x^{2}+1}-x.
Η h είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με
h^{\prime }\left( x\right)=...πράξεις...=\allowbreak \frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}
h^{\prime \prime }\left( x\right) =...πράξεις...=\allowbreak \frac{1}{\left( x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}>0
'Αρα η h είναι κυρτή και η h' γνησίως αύξουσα.

Ο μαθητής παραθέτει το σχετικό πινακάκι όπου όμως το μόνο πρόσημο που βρίσκει είναι της h''.
Μιας και η "δυσκολία" της εύρεσης ρίζας της h ανακυκλώνεται συνεχίζει ως εξής:

'Εστω \rho ρίζα της h.
Αν \rho=0 τότε h\left( \rho \right) =0\Leftrightarrow \sqrt{\rho ^{2}+1}-\rho =0\Leftrightarrow \sqrt{0+1}-0=0\Leftrightarrow 1=0 Άτοπο.
Αν \rho>0 τότε h\left( \rho \right) =0\Leftrightarrow \sqrt{\rho ^{2}+1}-\rho =0\Leftrightarrow \sqrt{\rho ^{2}+1}=\rho \Leftrightarrow \rho ^{2}+1=\rho \Leftrightarrow 1=0 Άτοπο.
Αν \rho<0 τότε 2\rho ^{2}-2\rho \sqrt{\rho ^{2}+1}+1=0\Leftrightarrow 2\rho \left( \rho -\sqrt{\rho ^{2}+1}\right) +1=0 άτοπο διότι 2\rho <0 και \rho -\sqrt{\rho ^{2}+1}<0 άρα 2\rho \left( \rho -\sqrt{\rho ^{2}+1}\right) +1>1.

Ανάλογες προσεγγίσεις είδαμε στα βαθμολογικά κέντρα στις εξετάσεις του 2010 στην αντιμετώπιση του 4ου θέματος. Κοινός τόπος: Η Άλγεβρα που έχουν διδαχθεί τα παιδιά στην Α΄και Β΄τάξη μπαίνει στο παρασκήνιο και υπερισχύουν όχι ακριβώς η Ανάλυση αλλά η περί αυτήν διαδικαστική συνταγογραφία. Διαμορφώνεται έτσι ένα πολύ θολό μαθηματικό τοπίο για το οποίο φαντάζομαι ότι ουδείς είναι ευτυχής. Δεν είμαι σε θέση να δώσω μία πλήρη ερμηνεία του φαινομένου. Θεωρώ πάντως ως σημαντικούς παράγοντες:
α) το ότι η Άλγεβρα στις δύο προηγούμενες τάξεις με τις συνεχείς εκπτώσεις και μειώσεις και την μετατόπιση της απόδειξης έχει αποδυναμωθεί σημαντικά.
β) το ότι η Ανάλυση παρουσιάζεται ως ένα αντικείμενο που δε συνδέεται και πολύ με τα προηγούμενα με διάσπαρτες αποδείξεις και τεχνικές. Σαν ένα μέρος που το μαθηματικό παρελθόν μπορεί να αγνοηθεί και όλα να αρχίσουν ξανά.
Σχετικός είναι και ο προβληματισμός που υπάρχει σε εισήγηση του Γιάννη Θωμαίδη που μπορεί να βρεθεί εδώ:
http://www.kalamari.gr/images/stories/h ... sigisi.pdf
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10674
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 02, 2013 12:53 pm

nsmavrogiannis έγραψε: .... Κοινός τόπος: Η Άλγεβρα που έχουν διδαχθεί τα παιδιά στην Α΄και Β΄τάξη μπαίνει στο παρασκήνιο και υπερισχύουν όχι ακριβώς η Ανάλυση αλλά η περί αυτήν διαδικαστική συνταγογραφία. Διαμορφώνεται έτσι ένα πολύ θολό μαθηματικό τοπίο για το οποίο φαντάζομαι ότι ουδείς είναι ευτυχής.
Νίκο, δεν θα μπορούσα να συμφωνήσω περισσότερο.

Υπενθυμίζω ότι στο Μαθηματικό Κρήτης έχουμε προσθέσει στο πρώτο εξάμηνο ένα μάθημα γέφυρα, τα λεγόμενα ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, το οποίο περιέχει την ύλη της Άλγεβρας Α και Β Λυκείου (από λίγο καλύτερη σκοπιά για να μην μένουμε σε στάσιμα νερά).

Ο προβληματισμός για την προσθήκη του μαθήματος ήταν ακριβώς αυτά που γράφεις.

Επέμενα πολλά χρόνια για την προσθήκη του μαθήματος αυτού. Μετά από πολλές αντιρρήσεις, οι συνάδελφοι με άκουσαν, αν και ακόμα εισπράττω κριτική από μερικούς που δεν πείστηκαν.

Τα αποτελέσματα των εξετάσεων, απογοητευτικά. Ευτυχώς που υπήρχαν και φοιτητές που είχαν εξαιρετική επίδοση (τα έλυσαν όλα). Επισυνάπτω τα θέματα που έβαλα τον Ιανουάριο 2013. Σπεύδω να προσθέσω ότι όλα, μα όλα, τα ερωτήματα ήσαν θέματα που επεξεργαστήκαμε στη τάξη (ίδια ή παραπλήσια).

Επίσης ας προσθέσω ότι η ιδέα στο μάθημα ήταν να εργαζόμαστε με κομψή μέθοδο και υπήρχε ένας πλούτος τεχνικών. Π.χ. στο ερώτημα 5 α) αυτό ΠΟΥ ΔΕΝ ΘΕΛΟΥΜΕ είναι να εργαστούμε με Vieta. Υπάρχει και καλύτερη αντιμετώπιση.

Φιλικά,

Μιχάλης
Συνημμένα
Genika Ian 2013.pdf
(57.99 KiB) Μεταφορτώθηκε 384 φορές


Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gian7 » Πέμ Μάιος 02, 2013 1:28 pm

Άλλο ένα φαινόμενο που παρατηρώ συχνά είναι η αδυναμία πολλών συμμαθητών μου να βρούν πεδία ορισμού!

Για παράδειγμα μπορούν να βρούν την αντίστροφη της \displaystyle{f(x) = ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)} αλλά κανείς(!!!) το πεδίο ορισμού της.

Πιστεύω ότι είναι στο χέρι των καθηγητών να κάνουν μια καλή δουλεία στην πρώτη λυκείου και τροφοδοτήσουν με γερές βάσεις τα παιδιά.

Είναι θλιβερό να παίζουμε τα "\displaystyle{\xi }" στα δάκτυλα και να μην έχουμε ιδέα για παράδειγμα από θεωρία αριθμών
τελευταία επεξεργασία από gian7 σε Πέμ Μάιος 02, 2013 6:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5264
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Μάιος 02, 2013 4:53 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ...Η Άλγεβρα που έχουν διδαχθεί τα παιδιά στην Α΄και Β΄τάξη μπαίνει στο παρασκήνιο και υπερισχύουν όχι ακριβώς η Ανάλυση αλλά η περί αυτήν διαδικαστική συνταγογραφία. Διαμορφώνεται έτσι ένα πολύ θολό μαθηματικό τοπίο για το οποίο φαντάζομαι ότι ουδείς είναι ευτυχής. Δεν είμαι σε θέση να δώσω μία πλήρη ερμηνεία του φαινομένου. Θεωρώ πάντως ως σημαντικούς παράγοντες:
α) το ότι η Άλγεβρα στις δύο προηγούμενες τάξεις με τις συνεχείς εκπτώσεις και μειώσεις και την μετατόπιση της απόδειξης έχει αποδυναμωθεί σημαντικά.
β) το ότι η Ανάλυση παρουσιάζεται ως ένα αντικείμενο που δε συνδέεται και πολύ με τα προηγούμενα με διάσπαρτες αποδείξεις και τεχνικές. Σαν ένα μέρος που το μαθηματικό παρελθόν μπορεί να αγνοηθεί και όλα να αρχίσουν ξανά.
Σχετικός είναι και ο προβληματισμός που υπάρχει σε εισήγηση του Γιάννη Θωμαίδη που μπορεί να βρεθεί εδώ:
http://www.kalamari.gr/images/stories/h ... sigisi.pdf
Μαυρογιάννης
ΝΑΙ είναι ακριβώς έτσι και παρ' όλο το πανίσχυρο ανοσοποιητικό σύστημα των Μαθηματικών επιβάλλεται τόσο επιστημονικά, όσο διδακτικά και τελικά ηθικά να γίνει κάτι το ουσιαστικό τάχιστα.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
spege
Δημοσιεύσεις: 253
Εγγραφή: Δευ Απρ 27, 2009 10:24 pm

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spege » Πέμ Μάιος 02, 2013 5:50 pm

Έτσι είναι Νίκο ,συμφωνώ και εγώ.
Έρχονται στιγμές που πιστεύω ότι διδάσκουμε μαθηματικά για τη «βιομηχανία» με πολλές συνταγές
ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ
Σπύρος


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5268
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Μάιος 02, 2013 7:09 pm

Νίκο, έτσι είναι !

Τελικά ο μαθητής ό,τι μαθαίνει, το μαθαίνει τελικά στην Γ΄ Λυκείου !

Αυτή είναι η πρώτη φορά στα έξι χρόνια (Γυμνάσιο+Λύκειο) που νοιώθει ότι είναι μαθητής και βλέπει το Σχολείο(τη μάθηση καλύτερα) με τη δέουσα σοβαρότητα.

Εκεί μαθαίνει εξισώσεις, εκεί ανισώσεις, εκεί ταυτότητες, εκεί πράξεις ,εκεί συναρτήσεις, εκεί όλα !

Το συμπέρασμα είναι αδιαμφισβήτητο :

Ένας μαθητής για να μπορεί να είναι ουσιαστικός , πρέπει στην Α' και τη Β΄Λυκείου να αποκτήσει πολύ γερά θεμέλια στην κλασική Άλγεβρα και τη Γεωμετρία.
Τίποτα από τα δύο δε γίνεται όμως στην πράξη , οποτε στην τρίτη Λυκείου συναντάμε κάθε είδους αρρυθμία !

Βλέπουμε άλλωστε ότι στους μιγαδικούς ,όπου η ύλη είναι ελάχιστη, οι μαθητές τρέμουν ! Ρωτείστε όποιο μαθητή θέλετε τι φοβάται περισσότερο και με έκπληξη θα ακούσετε : '' τους μιγαδικούς !''.
Αυτό συμβαίνει διότι χρειάζεται ευχέρεια στην Άλγεβρα και αυτό λείπει παντελώς !

Καλή Ανάσταση !


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Πέμ Μάιος 02, 2013 8:00 pm

Και πώς να μην καταρρεύσει η Άλγεβρα με τις περικοπές που έκαναν οι άσχετοι των ασχέτων

που αφαιρούν από την ύλη τα χρήσιμα εργαλεία της ανάλυσης με ένα απλό δεν χρειάζεται…., λες και ποτέ τους δεν δίδαξαν ανάλυση.
και φωνάζει ο κόσμος της μαθηματικής εκπαίδευσης,
και φωνάζουν οι σύμβουλοι,
και φωνάζουν οι καθηγητές που ζουν «το κυνήγι του ξ» από μαθητές που δεν γνωρίζουν την ταυτότητα {{a}^{3}}-{{b}^{3}}
και φωνάζουν όλοι
και η ΕΜΕ σιωπά…….


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
bilstef
Δημοσιεύσεις: 1388
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:45 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι - Κομοτηνή
Επικοινωνία:

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bilstef » Σάβ Μάιος 04, 2013 1:47 am

Τελικά,
η διδακτική των μαθηματικών χρειάζεται ή όχι ;

( Η γεωμετρία έχει ήδη καταρρεύσει ,η άλγεβρα καταρρέει !

ζήτω οι πιθανότητες !!!!!!!)


Η ζωή είναι Ωραία,ας την χαρούμε.Εν οίδα ότι ουδέν οίδα!Γηράσκω αεί διδασκόμενος!
Η γη δεν μας ανήκει της ανήκουμε !
Βασίλης Στεφανίδης
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4214
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Μάιος 08, 2013 2:11 am

bilstef έγραψε:Τελικά,
η διδακτική των μαθηματικών χρειάζεται ή όχι ;

( Η γεωμετρία έχει ήδη καταρρεύσει ,η άλγεβρα καταρρέει !

ζήτω οι πιθανότητες !!!!!!!)
Βασίλη δεν είναι θέμα Διδακτικής των Μαθηματικών (εξ΄άλλου ποια απ΄όλες;)
Είναι θέμα Μαθηματικών. Αυτό που λείπει και το χρειαζόμαστε είναι ένα πρόγραμμα Μαθηματικών του Λυκείου που να αποδίδει στην Άλγεβρα και την Γεωμετρία τον φυσικό τους ρόλο που είναι και μεταξύ άλλων και παιδευτικός ρόλος. Και δεν νοείται Άλγεβρα χωρίς ένα επαρκές ποσό Άλγεβρας που να περιλαμβάνει βασικές προτάσεις και μεθόδους (μην παρεξηγηθώ: δεν είπα μεθοδολογίες). Με ψήγματα θεωρίας μπορεί να κάνει κανείς χάπενιγκ όχι μάθημα. Και ενώ οι εκπτώσεις και μειώσεις στην ύλη είναι αμφίβολο αν βοηθούν τους μαθητές που δυσκολεύονται σίγουρα στερούν από τους ικανούς μαθητές την δυνατότητα να μάθουν κάποια ουσιαστικά πράγματα.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης