Πρώτο ιδεώδες

dopfev · #1

Γεια σας,
μήπως μπορεί να δοθεί μια υπόδειξη ως προς το πως μπορούμε να δείξουμε ότι το <x+1>

είναι πρώτο ιδεώδες στον δακτύλιο των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές Z[x]

; Ευχαριστώ πολύ!

stranger · #2

Δοκίμασε να δείξεις ότι ο δακτύλιος πηλίκο είναι ακέραια περιοχή.
Αυτό είναι ισοδύναμο με το να είναι πρώτο ένα ιδεώδες.
Μια μικρή βοήθεια:
Στον δακτύλιο πηλίκο ουσιαστικά ταυτίζουμε το

με το

.
Οπότε ποιος μπορεί να είναι ο δακτύλιος πηλίκο;
Τροφή για σκέψη.

dopfev · #3

Μπορώ να πω:

$\displaystyle f\left( x \right)g\left( x \right)\in \left\langle x+1 \right\rangle \Rightarrow f\left( x \right)g\left( x \right)=\left( x+1 \right)h\left( x \right),\,\,f\left( x \right),g\left( x \right),h\left( x \right)\in Z\left[ x \right]$

Για x=-1

:
$\displaystyle{f\left( -1 \right)g\left( -1 \right)=0\Rightarrow f\left( -1 \right)=0\,\,\,\vee \,\,g\left( -1 \right)=0\Rightarrow \left( x+1 \right)|f\left( x \right)\,\,\vee \,\,\left( x+1 \right)|g\left( x \right)\Rightarrow f\left( x \right)\in \left\langle x+1 \right\rangle \,\,\vee \,\,g\left( x \right)\in \left\langle x+1 \right\rangle}$

Είναι εντάξει αυτό;

stranger · #4

Είσαι σωστός. Είναι και αυτή μια απόδειξη.
Εγώ σκεφτόμουν ότι ο δακτύλιος $\mathbb{Z}[x]/<x+1>$ είναι ισόμορφος με τον $\mathbb{Z}$ που προφανώς είναι ακέραια περιοχή.
Η ισομορφία αυτή είναι επειδή ουσιαστικά στον δακτύλιο πηλίκο έχουμε $x^n \equiv (-1)^n$ οπότε κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με μια σταθερά. Επίσης, διαφορετικές σταθερές είναι μη ισοδύναμες οπότε προφανώς $\mathbb{Z}[x]/<x+1> \cong \mathbb{Z}$ .

dopfev · #5

stranger έγραψε: Παρ Απρ 24, 2020 4:04 am Η ισομορφία αυτή είναι επειδή ουσιαστικά στον δακτύλιο πηλίκο έχουμε $x^n \equiv (-1)^n$ οπότε κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με μια σταθερά. Επίσης, διαφορετικές σταθερές είναι μη ισοδύναμες οπότε προφανώς $\mathbb{Z}[x]/<x+1> \cong \mathbb{Z}$ .

Συγνώμη αλλά εδώ δε σε κατάλαβα καθόλου!

stranger · #6

Όταν παίρνουμε τον δακτύλιο πηλίκο(πχ τον $\mathbb{Z}[x]/<x+1>$ ), τότε ουσιαστικά είναι σαν να ταυτίζουμε το x+1

με το

.
Αυτό συμβαίνει επειδή έχουμε f(x) + <x+1>=g(x) + <x+1>

αν και μόνο αν $f(x)-g(x) \in <x+1>$ .
Οπότε έχουμε x+1 + <x+1> = 0 +<x+1>

δηλαδή ταυτίσαμε το x+1

με το

.
Δηλαδή αυτή η ταύτιση είναι $f(x) \equiv g(x)$ αν και μόνο αν $f(x)-g(x) \in <x+1>$ .
Άρα μπορούμε να πούμε ότι ταυτίζουμε το

με το

.
Οπότε πολλαπλασιάζοντας με

έχουμε $x^2 \equiv -x \equiv 1$ .
Συνεπώς πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά με

μπορούμε να δούμε ότι $x^n \equiv (-1)^n$ και επειδή ένα πολυώνυμο είναι συνδυασμός δυνάμεων του

παίρνουμε ότι κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με ένα σταθερό πολυώνυμο.
Επίσης, διαφορετικές σταθερές είναι μη ισοδύναμες (γιατι;) έχουμε ότι ο δακτύλιος πηλίκο είναι ισόμορφος με τον $\mathbb{Z}$ .
Νομίζω ότι είναι καλό να εξοικιωθείς με αυτές τις έννοιες.
Φαίνονται περίπλοκες όμως στην πραγματικότητα είναι πολύ απλές.
Η συγκεκριμένη άσκηση λύνεται πολύ πιο εύκολα(πχ με την απόδειξή σου), όμως προχορώντας θα υπάρχουν ασκήσεις που θα πρέπει να κάνεις τέτοιους συλλογισμούς.
Ελπίζω να βοήθησα.

dopfev · #7

Κωνσταντίνε σε ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!

#8

Απλά να σημειώσω ότι το $\langle x+1\rangle$ το γράφουμε με τον κώδικα

Κώδικας: Επιλογή όλων

\langle x+1\rangle

Πρώτο ιδεώδες

Πρώτο ιδεώδες

Re: Πρώτο ιδεώδες

Re: Πρώτο ιδεώδες

Re: Πρώτο ιδεώδες

Re: Πρώτο ιδεώδες

Re: Πρώτο ιδεώδες

Re: Πρώτο ιδεώδες

Re: Πρώτο ιδεώδες

Μέλη σε σύνδεση