Εύρεση του γενικού όρου

#1

Σε μια ακολουθία (a_n)

είναι

και $a_{n+2} = 4(a_{n+1}-a_n})$ .

Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας αυτής.

Σχόλιο :

Με την ευκαιρία ήθελα να ρωτήσω ποια είναι κατά τη γνώμη σας η πιο απλή μέθοδος για την εύρεση του γενικού όρου μιας αναδρομικής ακολουθίας δευτέρας τάξεως. Εϊχα δει παλιά που διδάσκαμε ακουλουθίες μια πολύ απλή μέθοδο, αλλά και την ξέχασα και δε μπορώ να βρω που την είχα διαβάσει. Είχε σχέση με την χαρακτηριστική εξίσωση του αναδρομικού τύπου. Η απόδειξη του γενικού όρου με επαγωγή δε με συγκινεί, διότι προϋποθέτει να ξέρει κανείς την απάντηση. Την έχει και το παλιό (έξοχο)βιβλίο του Κώστα Μπροχούτα που διάβαζα όταν ήμουν υποψήφιος το 1977

. Υπάρχει μια μέθοδος που βρίσκουμε το γενικό όρο με τη βοήθεια των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης(περιπτώσεις για τη διακρίνουσα).Αυτή τη μέθοδο προσπαθώ να βρω, αλλά από χθες που γύρισα από το χωριό , αν και έψαξα σε πάνω από δέκα παλιά βιβλία, δεν κατάφερα να την εντοπίσω.Το θέωρημα που δίνει την απάντηση και την αποδεικνύει με επαγωγή(δεύτερη μορφή) το έχω, μπορείτε όμως να το δώσετε για λόγους πληρότητας με απόδειξη και εδώ, ώστε να το έχουμε στο αρχείο του mathematica.

Μπάμπης

#2

Καλησπέρα!
Ο Σεραφείμ τα λέει όμορφα και μεθοδολογικά --->εδώ

#3

Από χθες βράδυ έκανα μια μικρή πρόοδο, αλλά ακόμα δεν μπορώ να βρω την πηγή που ψάχνω. Ίσως να είχα δει τη μέθοδο με τη βοήθεια πινάκων.

- Αν μια ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι το

η διαδικασία απλουστεύεται , μια και πέφτουμε σε άθροισμα δύο γεωμετρικών προόδων με σχετικά εύκολο τρόπο(όπως ο Χρήστος στη λύση του).

- Αν καμία ρίζα δεν είναι το

τα πράγματα θέλουν λίγη περισσότερη άλγεβρα.

-Αν η ρίζα είναι διπλή , πέφτουμε στην εύρεση του γενικού όρου με αναδρομική ακολουθία, κάτι που είναι γνωστή διαδικασία.

Είχα όμως την εντύπωση πως για όλα αυτά είχα κάτι πιο συνοπτικό και λειτουργικό. Εδώ είμαστε όμως και σιγά - σιγά θα το κλείσουμε οριστικά το θέμα.

.......Ειδικά φέτος που στην Α΄Λυκείου έχουμε άπλετο χρόνο(

), στο κεφάλαιο των προόδων θα τα κάνουμε όλα αυτά και στην τάξη !

Μπάμπης

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε μια ακιολουθία είναι και $a_{n+2} = 4(a_{n+1}-a_n})$ .

Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας αυτής.

Ένας απλός τρόπος που πιάνει όλες τις περιπτώσεις είναι να γράψουμε την δοθείσα, ή γενικότερα την $a_{n+2} = Aa_{n+1}+Ba_n}$ στην μορφή

$a_{n+2}+pa_{n+1} = q( a_{n+1}+pa_n)$ . (*)

Αυτό απαιτεί q-p=A, qp=B

που έχει πάντα λύση (μιγαδική ή όχι, διπλή ή όχι, δεν μας νοιάζει). Στο παραπάνω παράδειγμα είναι $a_{n+2}-2a_{n+1} = 2( a_{n+1}-2a_n)$ . Από την (*) αναδρομικά έχουμε

$a_{n+2}+pa_{n+1}= q^n( a_{1}+pa_0)$ που τώρα είναι εύκολη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Εύρεση του γενικού όρου

Εύρεση του γενικού όρου

Re: Εύρεση του γενικού όρου

Re: Εύρεση του γενικού όρου

Re: Εύρεση του γενικού όρου

Μέλη σε σύνδεση