Ευθύ Άθροισμα

xmaze · #1

Καλησπέρα,
έχω μια άσκηση , στο $\mathbb{R}^5$ εχουμε τους υποχώρους, $U_{1} = \left \{ (a,a,a+b,b,b):a,b\in \mathbb{R} \right \}, U_{2} = \left \{ (a,2a,a,3b,b):a,b\in \mathbb{R} \right \}, U_{3} = \left \{ (3a,a,8a,-a,3a):a,b\in \mathbb{R} \right \},$ να αποδείξετε ότι οι υποχώροι ανα δύο είναι ευθύ αθροισμα αλλά όχι και οι τρείς μαζί.
Τώρα, με αυτά που ξέρω, εκανα το εξής για $U_{1}$ , $U_{1} = \left \{ (a,a,a+b,b,b) \right \} = \left \{ a(1,1,1,0,0)+b(0,0,1,1,1)\right \}$ που σημαίνει ότι η διασταση του $U_{1}$ είναι 2, κάνοντας και για τους άλλους δύο το ίδιο, υπολογίζω, $dim(U_{2})=2$ και $dim(U_{3})=1$

Οπότε δνε γίνεται να είναι ευθύ άθροισμα ανα δύο, γιατί ανα δύο δέν φτάνουν την διάσταση του $\mathbb{R}^5$ που είναι 5.
Εχετε καμιά ιδέα; τί λα´θος κατάλαβα;

#2

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 11, 2024 9:34 pm
Καλησπέρα,
έχω μια άσκηση , στο $\mathbb{R}^5$ εχουμε τους υποχώρους, $U_{1} = \left \{ (a,a,a+b,b,b):a,b\in \mathbb{R} \right \}, U_{2} = \left \{ (a,2a,a,3b,b):a,b\in \mathbb{R} \right \}, U_{3} = \left \{ (3a,a,8a,-a,3a):a,b\in \mathbb{R} \right \},$ να αποδείξετε ότι οι υποχώροι ανα δύο είναι ευθύ αθροισμα αλλά όχι και οι τρείς μαζί.
Τώρα, με αυτά που ξέρω, εκανα το εξής για $U_{1}$ , $U_{1} = \left \{ (a,a,a+b,b,b) \right \} = \left \{ a(1,1,1,0,0)+b(0,0,1,1,1)\right \}$ που σημαίνει ότι η διασταση του $U_{1}$ είναι 2, κάνοντας και για τους άλλους δύο το ίδιο, υπολογίζω, $dim(U_{2})=2$ και $dim(U_{3})=1$

Οπότε δνε γίνεται να είναι ευθύ άθροισμα ανα δύο, γιατί ανα δύο δέν φτάνουν την διάσταση του $\mathbb{R}^5$ που είναι 5.
Εχετε καμιά ιδέα; τί λα´θος κατάλαβα;

.
Όπως είναι τώρα η διατύπωση, είναι προβληματική. Για παράδειγμα δεν έχει νόημα η φράση "οι υποχώροι ανά δύο είναι ευθύ αθροισμα".

Θα σε παρακαλέσω να γράψεις την διατύπωση ΑΚΡΙΒΩΣ όπως είναι γραμμένη στην πηγή σου (ακόμη και αν είναι σε ξένη γλώσσα). Δεν αμφιβάλλω ποια είναι η διατύπωση που εννοεί ο συγγραφέας της άσκησης, αλλά θέλω να την ακούσω από εσένα για να μην μαντεύω. Όπως και να είναι, η άσκηση είναι αρκετά απλή.

xmaze · #3

Zeigen Sie, dass die Summen $U_{1}+U_{2}$ , $U_{1}+U_{3}$ und $U_{2}+U_{3}$ direkt sind, nicht aber die Summe $U_{1}+U_{2}+U_{3}$ .

Είναι η πρώτη μου βδομάδα στο πανεπιστημιο, και κάπου είχα διαβάσει ότι ο καθηγητής βάζει λάθος εκφωνήσεις για να δεί αν καταλαβαν οι φοιτητες, δεν το έχω διασταυρώσει αλλά μπορεί να παίζει και κάτι τέτοιο.

#4

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 11, 2024 10:41 pm
Είναι η πρώτη μου βδομάδα στο πανεπιστημιο, και κάπου είχα διαβάσει ότι ο καθηγητής βάζει λάθος εκφωνήσεις για να δεί αν καταλαβαν οι φοιτητες, δεν το έχω διασταυρώσει αλλά μπορεί να παίζει και κάτι τέτοιο.

Θα σου συνιστούσα να μην δίνεις βάση σε σχόλια που μπορεί να σε αποπροσανατολίσουν.

Στην προκείμενη περίπτωση η εκφώνηση που δίνεις τώρα (η αυθεντική εκφώνηση του καθηγητή σου) είναι σαφέστατη και είναι όπως ακριβώς την ανέμενα. Επειδή η άσκηση είναι απλούστατη, θα δώσω μόνο υπόδειξη.

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 11, 2024 10:41 pm
Zeigen Sie, dass die Summen $U_{1}+U_{2}$ , $U_{1}+U_{3}$ und $U_{2}+U_{3}$ direkt sind, nicht aber die Summe $U_{1}+U_{2}+U_{3}$ .

Θέλεις να δείξεις ότι το άθροισμα $U_{1}+U_{2}$ είναι ευθύ. Εξ ορισμού αυτό σημαίνει ότι πρέπει δείξεις ότι αν u_1+ u_2=0

με $u_1\in U_{1}, \, u_2 \in U_{2}$ τότε u_1=u_2=0

.

Συνέχισε. Το θέμα είναι ιδιαίτερα απλό. Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου. ΄

Όμοια για τα $U_{1}+U_{3}$ και $U_{2}+U_{3}$ . Αντίθετα για το $U_{1}+U_{2}+U_{3}$ έχεις να δείξεις ότι υπάρχουν μη μηδενικά $u_1\in U_{1}, \, u_2 \in U_{2}, \, u_3\in U_3$ με u_1+ u_2+u_3=0

. Απλό και αυτό.

Ας κλείσω με το σχόλιο που σου έγραψα στο ποστ #4 εδώ.

xmaze · #5

καλημέρα,
την λύση με το μηδανικό διανυσμα την έχω κάνει ήδη απο την αρχή, γιατί ηταν και το πρώτο που υπώθηκε στο μάθημα. Απλά λόγω της διάστασης των υποχόρων δεν μου κάθεται σωστά, αν δεν έχω κάνει λάθος στην διάσταση δεν γίνεται να είναι ευθύ το άθροισμα.

Δηλαδή, κατάλαβα ίσως λάθος, ότι το ευθύ άθροισμα πρέπει να έχει την διάσταση του διανυσματικού χώρου, 5 δηλαδή στη περίπτωση αυτή.

#6

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 11, 2024 9:34 pm
Οπότε δνε γίνεται να είναι ευθύ άθροισμα ανα δύο, γιατί ανα δύο δέν φτάνουν την διάσταση του $\mathbb{R}^5$ που είναι 5.
Εχετε καμιά ιδέα; τί λα´θος κατάλαβα;

.

xmaze έγραψε: ↑
Παρ Απρ 12, 2024 9:48 am
... το ευθύ άθροισμα πρέπει να έχει την διάσταση του διανυσματικού χώρου, 5 δηλαδή στη περίπτωση αυτή.

.
Όχι. Είναι πολύ λάθος αυτό που γράφεις (δύο φορές) για μάλιστα για τετριμμένους λόγους. Ένα απλό παράδειγμα στον $\mathbb R ^3$ είναι U_1

ίσον ο άξονας των

και

ίσον ο άξονας των

. Τότε το άθροισμα U_1+U_2

είναι ευθύ (πρόκειται για το επίπεδο x,y

) αλλά η διάστασή του δεν είναι

, που είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου.

Περιμένουμε να γράψεις την λύση σου για να δούμε αν ξεκαθάρισες στο μυαλό σου τις έννοιες. Η άσκηση είναι πολύ απλή και εδώ είμαστε να σε βοηθήσουμε αν δυσκολευτείς.

xmaze · #7

Για την πρώτη περίπτωση σκεφτηκα το εξής, αν είναι σωστό αναλόγως πάει για τα υπόλοιπα.

Εικόνα

#8

xmaze έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 12:35 pm
Για την πρώτη περίπτωση σκεφτηκα το εξής, αν είναι σωστό αναλόγως πάει για τα υπόλοιπα.

Πέρα από το γεγονός ότι οι κανονισμοί μας απαγορεύουν ρητά την ανάρτηση χειρογράφου, και κανονικά οι Γενικοί Συντονιστές πρέπει να διαγράψουν το ποστ σου και το παρόν μήνυμα που απαντά σε αυτό, ο συλλογισμός είναι προβληματικός. Τα $\mu, \nu$ δεν έχουν σχέση με την λύση. Είναι περιττά βήματα. Δες ξανά τον ορισμό του ευθέως αθροίσματος (σου τον έγραψα στο ποστ #4 αλλά υπάρχουν και άλλοι ισοδύναμοι) και ξαναδοκίμασε. Η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή. Λίγο πιο ενδιαφέρον (αλλά και πάλι είναι απλόυστατο) έχει η απόδειξη ότι το U_1+U_2+U_3

δεν είναι ευθύ.

Ευθύ Άθροισμα

Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση