Ανισότητα με μιγαδικούς

Tolaso J Kos · #1

Για τους μιγαδικούς $z, w, u, v \in \mathbb{C}$ , να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{ 2 \mathfrak{Re} \left ( uz + vw \right ) \leq 2 \left ( \left| u \right|^2 + \left| v \right|^2 \right ) + \frac{1}{2} \left ( \left| z \right|^2 + \left| w \right|^2 \right )}$

ksofsa · #2

Λόγω της προφανούς $Re(z)\le \left| z \right|$ , της τριγωνικής ανισότητας και της ανισότητας Cauchy Schwartz, έχουμε:

$2Re(uz+vw)\le 2\left| uz+vw \right|\le 2(\left| u \right|\left| z \right|+\left| v \right|\left| w \right|)\le$

$2\sqrt{(\left| u \right|^2+\left| v \right|^2)(\left| z \right|^2+\left| w \right|^2)}\le 2(\left| u \right|^2+\left| v \right|^2)+\dfrac{1}{2}(\left| z \right|^2+\left| w \right|^2)$ .

Η τελευταία ανισότητα προέκυψε από εφαρμογή της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου.

#3

Αλλιώς. Aπό την ανισότητα $2AB \le A^2+B^2$ έχουμε

$2Re(uz+vw)\le 2\left| uz+vw \right|\le 2(\left| u \right|\left| z \right|+\left| v \right|\left| w \right|)=$

$= 2 \left (\sqrt 2\,|u|\right ) \left (\dfrac {|z|}{\sqrt 2}\right ) + 2 \left (\sqrt 2\,|v|\right ) \left ( \dfrac {|w|}{\sqrt 2} \right ) \le \left (2 |u|^2 + \dfrac {|z|^2}{ 2} \right ) + \left (2 |v|^2 + \dfrac {|w|^2}{ 2} \right )$

που είναι ακριβώς η ζητούμενη.

Ανισότητα με μιγαδικούς

Ανισότητα με μιγαδικούς

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση