Ανισότητα με μιγαδικούς

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5555
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:

Ανισότητα με μιγαδικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 07, 2024 2:19 pm

Για τους μιγαδικούς z, w, u, v \in \mathbb{C}, να δειχθεί ότι:

\displaystyle{ 2 \mathfrak{Re} \left (  uz + vw \right ) \leq 2 \left ( \left| u \right|^2 + \left| v \right|^2 \right ) + \frac{1}{2} \left ( \left| z \right|^2 + \left| w \right|^2 \right )}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 530
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Νοέμ 07, 2024 2:32 pm

Λόγω της προφανούς Re(z)\le \left| z \right|, της τριγωνικής ανισότητας και της ανισότητας Cauchy Schwartz, έχουμε:

2Re(uz+vw)\le 2\left| uz+vw \right|\le 2(\left| u \right|\left| z \right|+\left| v \right|\left| w \right|)\le

 2\sqrt{(\left| u \right|^2+\left| v \right|^2)(\left| z \right|^2+\left| w \right|^2)}\le 2(\left| u \right|^2+\left| v \right|^2)+\dfrac{1}{2}(\left| z \right|^2+\left| w \right|^2).

Η τελευταία ανισότητα προέκυψε από εφαρμογή της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18291
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 07, 2024 7:40 pm

Αλλιώς. Aπό την ανισότητα 2AB \le A^2+B^2 έχουμε

2Re(uz+vw)\le 2\left| uz+vw \right|\le 2(\left| u \right|\left| z \right|+\left| v \right|\left| w \right|)=

 = 2 \left (\sqrt 2\,|u|\right )  \left (\dfrac {|z|}{\sqrt 2}\right )   + 2 \left (\sqrt 2\,|v|\right )  \left ( \dfrac {|w|}{\sqrt 2} \right ) \le \left (2 |u|^2 + \dfrac {|z|^2}{ 2}  \right ) +  \left (2 |v|^2 + \dfrac {|w|^2}{ 2}  \right )

που είναι ακριβώς η ζητούμενη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης