Ελάχιστη τιμή αθροίσματος και δευτεροβάθμια εξίσωση

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ελάχιστη τιμή αθροίσματος και δευτεροβάθμια εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Απρ 11, 2011 10:45 pm

Έστω η εξίσωση \displaystyle{ 
ax^2  - bx + c = 0 
} με \displaystyle{ 
a,b,c 
} θετικούς ακέραιους.
Να προσδιορίσετε τους \displaystyle{ 
a,b,c 
} αν γνωρίζετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες που
ανήκουν στο διάστημα \displaystyle{ 
(0,1) 
} και το άθροισμα \displaystyle{ 
a + b + c 
} είναι το ελάχιστο δυνατό.


Χρήστος Κυριαζής
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος και δευτεροβάθμια εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Απρ 12, 2011 2:07 pm

Έχω f(x)=ax^2-bx+c

Πρέπει b^2-4ac>0 (1)

Τότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες x_1,x_2

Για να ικανοποιούνται τα αιτούμενα πρέπει

f(0)>0, που είναι προφανές, f(1)>0 \Leftrightarrow a-b+c>0 (2)

και 0<\frac {x_1+x_2}{2}<1 \Leftrightarrow b<2a (3)

Από την (3) έχουμε b=2a-k και από την (2) παίρνουμε ότι c>a-k

Επειδή ζητάμε ελάχιστο άθροισμα παίρνουμε c=a-k+1

Συνεπώς η (1) δίνει μετά από πράξεις k^2>4a (4)

Από την 2a>k και την (4) παίρνουμε k>2

Για k=3 έχουμε a \ge k=3 \Rightarrow 4a \ge 12 >k^2, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την (4)

Για k=4 έχουμε a \ge k=4 \Rightarrow 4a \ge 16=k^2, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με την (4)

Για k=5 και επειδή a \ge k, δοκιμάζω την μικρότερη δυνατή τιμή για το a, δηλαδή a=5

Η τριάδα (a,b,c)=(5,5,1) ικανοποιεί τα αιτούμενα του προβλήματος.

Δημήτρη Σκουτέρη και Χρήστο Κυριαζή ευχαριστώ


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης