Εκθετικό σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων :

$\displaystyle 2^{x+y+1} = 1+4^y , 2^{y+z+1} = 1+4^z , 2^{z+x+1} = 1+4^x$

Μπάμπης

#2

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{x \ge y \ge z.}$ Τότε, είναι:

$\displaystyle{{2^{z + x + 1}} = 1 + {4^x} \ge 1 + {4^y} = {2^{x + y + 1}}},$

οπότε $\displaystyle{z \ge y}$ και τελικά $\displaystyle{y = z.}$ Άρα, η παραπάνω ανισότητα ισχύει ως ισότητα, οπότε $\displaystyle{x = y = z}$ και καταλήγουμε στην εξίσωση

$\displaystyle{{2^{2x + 1}} = {4^x} + 1 \Leftrightarrow {4^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.}$

Ώστε, είναι $\displaystyle{x = y = z = 0.}$

Νικος Αντωνόπουλος · #3

Μια διαφορετική προσέγγιση του θέματος.
Η πρώτη από τις δοσμένες εξισώσεις με εφαρμογή της ${{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}\ge 2\alpha \beta$ , γράφεται
${{2}^{x+y+1}}\ge {{2}^{y+1}}\Rightarrow {{2}^{x}}\ge 1\Rightarrow x\ge 0$ . Ομοίως βρίσκουμε
$y\ge 0$ και $z\ge 0.$
Επίσης:
${{2}^{x+y+1}}=1+{{4}^{y}}\le {{2}^{y}}+{{4}^{y}}\Rightarrow {{2}^{x+1}}\le 1+{{2}^{y}}$ (1)
και κυκλικά ${{2}^{y+1}}\le 1+{{2}^{z}}$ (2) , ${{2}^{z+1}}\le 1+{{2}^{x}}$ (3).
Χρησιμοποιώντας τις (1), (2), (3) έχουμε

${{2}^{x+3}}={{2}^{2}}{{2}^{x+1}}\le {{2}^{2}}(1+{{2}^{y}})=4+2\cdot {{2}^{y+1}}\le 4+2(1+{{2}^{z}})=4+2+{{2}^{z+1}}\le 7+{{2}^{x}}$
οπότε
$7\cdot {{2}^{x}}\le 7\Rightarrow x\le 0.$
Άρα x=0

. Ομοίως

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές που βρήκαμε επαληθεύουν τις αρχικές εξισώσεις, οπότε είναι οι ζητούμενες.

S.E.Louridas · #4

Διαγραφή λόγω ενός λάθους στις πράξεις,
Ευχαριστώ

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #5

Ας μου επιτραπεί να εκφράσω την διδακτική μου γνώμη:
Θα ενέτασσα το θέμα στην τεχνική της αντικατάστασης, αφού έχουμε επαναλαμβανόμενες ποσότητες, ως εξής:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2^x = a}>0 \\ {2^y = b}>0 \\ {2^z = c}>0 \\ \end{array} } \right.,$ οπότε αρκεί να επιλύσουμε το σύστημα $\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2ab = 1 + b^2 } \\ {2bc = 1 + c^2 } \\ {2ca = 1 + a^2 } \\ \end{array} } \right.,$ με άγνωστους τους a,b,c στούς θετικούς πραγματικούς, που με διαδοχικές αφαιρέσεις μας

οδηγεί στο σύστημα:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2b\left( {a - c} \right) = \left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)} \\ {2a\left( {c - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {b + a} \right)} \\ {2c\left( {b - a} \right) = \left( {c - a} \right)\left( {c + a} \right)} \\ \end{array} } \right..$

Οπότε αν a=b ή b=c ή c=a ,αυτόματα έχουμε a=b=c=1 ή x=y=z=0, ενώ όταν
$a \ne b\;\kappa \alpha \iota \;b \ne c\;\kappa \alpha \iota \;c \ne a,$ με πολλαπλασιασμό κατά μέλη καταλήγουμε σε άμεσο άτοπο.

S.E.Louridas

Εκθετικό σύστημα

Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση