Εκθετικό σύστημα

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Εκθετικό σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Μάιος 27, 2011 5:06 pm

Να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων :

\displaystyle 2^{x+y+1} = 1+4^y , 2^{y+z+1} = 1+4^z , 2^{z+x+1} = 1+4^x

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1396
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Εκθετικό σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Παρ Μάιος 27, 2011 5:48 pm

Υποθέτουμε ότι \displaystyle{x \ge y \ge z.} Τότε, είναι:

\displaystyle{{2^{z + x + 1}} = 1 + {4^x} \ge 1 + {4^y} = {2^{x + y + 1}}},

οπότε \displaystyle{z \ge y} και τελικά \displaystyle{y = z.} Άρα, η παραπάνω ανισότητα ισχύει ως ισότητα, οπότε \displaystyle{x = y = z} και καταλήγουμε στην εξίσωση

\displaystyle{{2^{2x + 1}} = {4^x} + 1 \Leftrightarrow {4^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.}

Ώστε, είναι \displaystyle{x = y = z = 0.}


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Εκθετικό σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Παρ Μάιος 27, 2011 6:49 pm

Μια διαφορετική προσέγγιση του θέματος.
Η πρώτη από τις δοσμένες εξισώσεις με εφαρμογή της {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}\ge 2\alpha \beta, γράφεται
{{2}^{x+y+1}}\ge {{2}^{y+1}}\Rightarrow {{2}^{x}}\ge 1\Rightarrow x\ge 0. Ομοίως βρίσκουμε
y\ge 0 και z\ge 0.
Επίσης:
{{2}^{x+y+1}}=1+{{4}^{y}}\le {{2}^{y}}+{{4}^{y}}\Rightarrow {{2}^{x+1}}\le 1+{{2}^{y}} (1)
και κυκλικά {{2}^{y+1}}\le 1+{{2}^{z}} (2) , {{2}^{z+1}}\le 1+{{2}^{x}} (3).
Χρησιμοποιώντας τις (1), (2), (3) έχουμε

{{2}^{x+3}}={{2}^{2}}{{2}^{x+1}}\le {{2}^{2}}(1+{{2}^{y}})=4+2\cdot {{2}^{y+1}}\le 4+2(1+{{2}^{z}})=4+2+{{2}^{z+1}}\le 7+{{2}^{x}}
οπότε
7\cdot {{2}^{x}}\le 7\Rightarrow x\le 0.
Άρα x=0. Ομοίως y=z=0.
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές που βρήκαμε επαληθεύουν τις αρχικές εξισώσεις, οπότε είναι οι ζητούμενες.


nikan-dos
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εκθετικό σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Μάιος 27, 2011 7:19 pm

Διαγραφή λόγω ενός λάθους στις πράξεις,
Ευχαριστώ

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εκθετικό σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Μάιος 27, 2011 10:10 pm

Ας μου επιτραπεί να εκφράσω την διδακτική μου γνώμη:
Θα ενέτασσα το θέμα στην τεχνική της αντικατάστασης, αφού έχουμε επαναλαμβανόμενες ποσότητες, ως εξής:

\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2^x  = a}>0  \\ 
   {2^y  = b}>0  \\ 
   {2^z  = c}>0  \\ 
 
 \end{array} } \right., οπότε αρκεί να επιλύσουμε το σύστημα \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2ab = 1 + b^2 }  \\ 
   {2bc = 1 + c^2 }  \\ 
   {2ca = 1 + a^2 }  \\ 
 
 \end{array} } \right., με άγνωστους τους a,b,c στούς θετικούς πραγματικούς, που με διαδοχικές αφαιρέσεις μας

οδηγεί στο σύστημα:
\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2b\left( {a - c} \right) = \left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}  \\ 
   {2a\left( {c - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {b + a} \right)}  \\ 
   {2c\left( {b - a} \right) = \left( {c - a} \right)\left( {c + a} \right)}  \\ 
 
 \end{array} } \right..

Οπότε αν a=b ή b=c ή c=a ,αυτόματα έχουμε a=b=c=1 ή x=y=z=0, ενώ όταν
a \ne b\;\kappa \alpha \iota \;b \ne c\;\kappa \alpha \iota \;c \ne a, με πολλαπλασιασμό κατά μέλη καταλήγουμε σε άμεσο άτοπο.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης