Εξίσωση

Συντονιστής: nsmavrogiannis

PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Πέμ Οκτ 20, 2011 1:58 am

Να λυθεί στους πραγματικούς η παρακάτω εξίσωση:

\dipslaystyle{2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1}


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Οκτ 20, 2011 2:20 am

Η συνάρτηση f(x)=\displaystyle\frac{x^3+1}{2} είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέφεται και μάλιστα ισχύει

f^{-1}(x)=\begin{cases} 
\sqrt[3]{2x-1}, &  x\geq \displaystyle\frac{1}{2}  \\  
-\sqrt[3]{1-2x}, &  x<\displaystyle\frac{1}{2}   
\end{cases}

Συνεπώς έχουμε να λύσουμε το σύστημα:

\begin{cases} 
x=f(y) \\  
x=f^{-1}(y)  
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 
x=f(y) \\  
y=f(x)  
\end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} 
x=\displaystyle\frac{y^3+1}{2} \\  
y=\displaystyle\frac{x^3+1}{2}  
\end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} 
x=\displaystyle\frac{y^3+1}{2} \\  
x-y=-\displaystyle\frac{x^3-y^3}{2}  
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 
x=\displaystyle\frac{y^3+1}{2} \\  
x=y \ \vee \  x^2+yx+y^2+2=0  
\end{cases} \Leftrightarrow (x,y)=(1,1),\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right),\left(\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)

Η εξίσωση x^2+yx+y^2+2=0 είναι αδύνατη αφού έχει διακρίνουσα \Delta=-3y^2-8<0.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Πέμ Οκτ 20, 2011 3:56 am

Λίγο διαφορετικά.

Η εξίσωση γράφεται \displaystyle{f(x)=f^{-1}(x)} ή αλλιώς \displaystyle{f(f(x))=x}. Το ίδιο προκύπτει και από το δεύτερο σύστημα του Αλέξανδρου παραπάνω.

Τώρα αν υπάρχει \displaystyle{x} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(x)>x} και αφού η f είναι αύξουσα παίρνουμε \displaystyle{f(f(x))>f(x)>x}, άτοπο.

Όμοια δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε \displaystyle{f(x)<x}. Άρα f(x)=x, δηλαδή \displaystyle{x^3-2x+1=0}. Βγάζοντας τον παράγοντα x-1 βρίσκουμε \displaystyle{(x-1)(x^2+x-1)=0} με λύσεις

\displaystyle{x=1,x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης