Ικανή και αναγκαία

[G.Tsikaloudakis]

Αν δώσετε στους μαθητές μια άσκηση με τη φράση:
''Ικανή και αναγκαία συνθήκη'' ή με τη φράση : ''πρέπει και αρκεί''
θα διαπιστώσετε την άγνοια της σημασίας των λέξεων ,καθώς και
σε πια προταση ανφέρεται η κάθε μια.
Σε ακόμα περισσότερη σύγχιση βρίσκονται, αν τους ζητήσουμε να εξηγήσουν τι σημαίνει:
''ικανή αλλά όχι αναγκαια'' , ''αναγκαία αλλά όχι ικανή'' κ.τ.λ.
Προτείνω λοιπόν εδω να δώσουμε μερικά τέτοια χαρακτηριστικά παραδείγματα.

[Γιώργος Απόκης]

Καλησπέρα. Ένα παράδειγμα (για το ικανή αλλά όχι αναγκαία):

Ικανή συνθήκη για να είναι ένας ακέραιος άρτιος, είναι να διαιρείται με το .

Με άλλα λόγια αρκεί ένας ακέραιος να διαιρείται με το για να είναι άρτιος.

Η συνθήκη όμως δεν είναι αναγκαία, δηλαδή μπορεί ένας ακέραιος να είναι άρτιος χωρίς να διαιρείται με το .

Με άλλα λόγια, δεν πρέπει να διαιρείται με το για να είναι άρτιος.

Δηλαδή ισχύει η συνεπαγωγή (Αν ο διαιρείται με το ) (o είναι άρτιος), αλλά όχι η αντίστροφη πρόταση:

(Μόνο αν ο διαιρείται με το ) (o είναι άρτιος),

Η απόδειξη είναι απλή: Αν ο διαιρείται με το , τότε άρα δηλαδή ο είναι άρτιος.

Κι ένα αντιπαράδειγμα για το ότι δεν ισχύει το αντίστροφο: Ο είναι άρτιος, αλλά δε διαιρείται με το .

[Γιώργος Απόκης]

Ένα παράδειγμα (για το αναγκαία αλλά όχι ικανή):

Αναγκαία συνθήκη για να διαιρείται ένας ακέραιος με το είναι να είναι άρτιος.

Με άλλα λόγια πρέπει ένας ακέραιος να είναι άρτιος για να διαιρείται με το .

Η συνθήκη όμως δεν είναι ικανή, δηλαδή μπορεί ένας ακέραιος να είναι άρτιος χωρίς να διαιρείται με το .

Με άλλα λόγια, δεν αρκεί να είναι άρτιος για να διαιρείται με το .

Δηλαδή ισχύει η συνεπαγωγή (Αν ο διαιρείται με το ) (o είναι άρτιος), αλλά όχι η αντίστροφη πρόταση:

(Μόνο αν ο διαιρείται με το ) (o είναι άρτιος),

Η απόδειξη είναι απλή: Αν ο διαιρείται με το , τότε άρα δηλαδή ο είναι άρτιος.

Κι ένα αντιπαράδειγμα για το ότι δεν ισχύει το αντίστροφο: Ο είναι άρτιος, αλλά δε διαιρείται με το .

[xr.tsif]

Κάποτε ο Καθηγητής μας στο Κρανίδι (Αργολίδας ) προσπαθώντας να μας εξηγήσει την ικανή και αναγκαία συνθήκη έλεγε:
Για να πάμε στον Πειραιά οδικώς πρέπει υποχρεωτικά να περάσουμε από τον Ισθμό ,
αλλά το πέρασμα του Ισθμού δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι θα φθάσεις και στον Πειραιά.

Ελπίζω να είναι καλά

Χρήστος

[G.Tsikaloudakis]

Από τη ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ:
Για να είναι το τετράπλευρο ρόμβος, να αποφανθείτε
για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι:
''αναγκαία και ικανή'' ή '' αναγκαία άλλά όχι ικανή''
ή '' ικανή αλλά όχι αναγκαία '' ή '' δεν ούτε ικανή ούτε αναγκαία.''
1. οι διαγώνιες του διχοτομούνται κάθετα.
2. οι διαγώνιες του είναι κάθετες και ίσες
3. οι διαγώνιες του διχοτομούνται κάθετα και είναι ίσες
4. οι διαγώνιες του διχοτομούνται και είναι ίσες
5. οι διαγώνιες του διχοτομούνται
6. οι διαγώνιες είναι κάθετες
7. οι διαγώνιες είναι ίσες
8. οι διαγώνιες είναι κάθετες και ίσες
9. οι διαγώνιες του διχοτομούν τις γωνίες του
10. οι διαγώνιες του διχοτομούνται και η μία διχοτομεί
μια γωνία του.

[Γιώργος Απόκης]

Επαναφορά

[Nikitas K.]

Μια ακόμα ερμηνεία της ικανής και αναγκαίας συνθήκης εδώ: https://www.thmmy.gr/smf/index.php?PHPS ... #msg764506

Από τη ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ:
Για να είναι το τετράπλευρο ρόμβος, να αποφανθείτε
για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι:
''αναγκαία και ικανή'' ή '' αναγκαία άλλά όχι ικανή''
ή '' ικανή αλλά όχι αναγκαία '' ή '' δεν ούτε ικανή ούτε αναγκαία.''
1. οι διαγώνιες του διχοτομούνται κάθετα.
2. οι διαγώνιες του είναι κάθετες και ίσες
3. οι διαγώνιες του διχοτομούνται κάθετα και είναι ίσες
4. οι διαγώνιες του διχοτομούνται και είναι ίσες
5. οι διαγώνιες του διχοτομούνται
6. οι διαγώνιες είναι κάθετες
7. οι διαγώνιες είναι ίσες
8. οι διαγώνιες είναι κάθετες και ίσες
9. οι διαγώνιες του διχοτομούν τις γωνίες του
10. οι διαγώνιες του διχοτομούνται και η μία διχοτομεί
μια γωνία του.

1. Ικανή και αναγκαία
2. Όχι, ικανή ή αναγκαία
3. Ικανή
4. Όχι, ικανή ή αναγκαία
5. Αναγκαία
6. Αναγκαία
7. Όχι, ικανή ή αναγκαία
8. Όχι, ικανή ή αναγκαία
9. Ικανή και αναγκαία
10. Ικανή και αναγκαία

Λήμμα:
Κάθε επίπεδο τετράπλευρο οι διαγώνιοι του διχοτομούνται αν και μόνο αν είναι παραλληλόγραμμο.

Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη Γεωμετρία Λήμμα.png (217.29 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

Απόδειξη ευθύ:
Οι γωνίες και είναι ίσες, ως κατακορυφήν.
Από το κριτήριο ισότητας τριγώνων ΠΓΠ έχουμε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Άρα οι γωνίες και είναι ίσες.
Επομένως παράλληλη της
Ομοίως αποδεικνύεται ότι παράλληλη της
Απόδειξη αντίστροφο:
Υπόδειξη, ... τα τρίγωνα από ΓΠΓ είναι ίσα...
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE ... E%B5%CF%82

1.

1. Ικανή και αναγκαία.png (166.59 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές

Οι διαγώνιοι διχοτομούνται άρα παραλληλόγραμμο. Η διαγώνιος είναι μεσοκάθετη της άρα άρα ρόμβος. Επίσης, αφού στις ιδιότητες ενός ρόμβου υπάρχει αυτή η συνθήκη είναι και αναγκαία.

2. Θα μπορούσε να υπάρχει σχήμα σαν και αυτό:

2. Όχι, ικανή ή αναγκαία.png (247.72 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

Η πλευρά δεν είναι παράλληλη με την άρα δεν είναι ρόμβος.

3. Αποδεικνύουμε όπως στην συνθήκη 1. ότι είναι ρόμβος, αλλά οι ίσες διαγώνιοι δεν είναι ιδιότητα του ρόμβου.

4. Είναι ορθογώνιο. Επίσης δεν είναι ιδιότητα του ρόμβου, αφού υπάρχει αντιπαράδειγμα, ρόμβος με άνισες διαγώνιες που διχοτομούνται.

5. Ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, αλλά το παραλληλόγραμμο δεν είναι απαραίτητα ρόμβος.

6.
Αντιπαράδειγμα 2.

Ιδιότητα του ρόμβου.

7.
Σχήμα 2.

Όχι ιδιότητα ρόμβου.

8. Απαντήθηκε στο 2.

9.

9. Ικανή και αναγκαία.png (182.61 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Επειδή τα τρίγωνα είναι ίσα από ΓΠΓ δείχνουμε ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές και επομένως η διχοτόμος που βαίνει στην κορυφή του είναι και μεσοκάθετος της βάσης του άρα οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου διχοτομούνται και ταυτόχρονα τέμνονται κάθετα, που σημαίνει ότι είναι ρόμβος.

Ιδιότητα του ρόμβου.

10.

10. Ικανή και αναγκαία.png (180.61 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Διχοτομούνται άρα είναι παραλληλόγραμμο. Διχοτόμος και διάμεσος άρα το το τρίγωνο είναι ισοσκελές άρα έχουμε ρόμβο.

Ιδιότητα του ρόμβου.