Απαλείφουσα

#1

Με αφορμή το θέμα viewtopic.php?f=23&t=25502

Θεωρούμε τα δευτεροβάθμια τριώνυμα με
$f_{1}\left( x\right) =\alpha _{1}x^{2}+\beta _{1}x+\gamma _{1}$
$f_{2}\left( x\right) =\alpha _{2}x^{2}+\beta _{2}x+\gamma _{2}$
Ο αριθμός
$\displaystyle{R\left( {{f_1},{f_2}} \right) = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\gamma _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\gamma _2}} \end{array}} \right|^2} - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _1}}&{{\gamma _1}}\\ {{\beta _2}}&{{\gamma _2}} \end{array}} \right|}$
ονομάζεται απαλείφουσα των $f_{1}$ , $f_{2}$ .
Να αποδειχθεί ότι τα τριώνυμα έχουν μία τουλάχιστον κοινή ρίζα αν και μόνο αν η απαλείφουσα τους είναι μηδέν.

Σημείωση 1 Η πρόταση αυτή κάποτε ήταν στοιχείο σχολικής θεωρίας.
Σημείωση 2. Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και για πολυώνυμα με βαθμούς (όχι κατ΄ανάγκην ίσους) μεγαλύτερους του 2.

Μαυρογιάννης

#2

Νίκο καλημέρα.
Με την απαλείφουσα δύο τριωνύμων μας φέρνεις την εποχή των πρακτικών τμημάτων
και την ακμή της μελέτης του τριωνύμου.

Πριν αρχίσει ο διάλογος στο θέμα σου αντιγράφω την εξής πρόταση από το βιβλίο της εποχής
που ανέσυρα μόλις από το ψηλό ράφι της βιβλιοθήκης μου:

"Ἡ ἐξέτασις τῶν ἰδιοτήτων τῆς ἀπαλειφούσης $\displaystyle{R}$ δύο τριωνύμων β' βαθμοῦ
βοηθεῖ εἰς τήν ἐπίλυσιν πολλῶν σπουδαίων προβλημάτων"

(Θ.Βαβαλέτσκου - Γ.Μπούσγου:Μαθηματικά Δ' Γυμνασίου(Θετικής Κατευθύνσεως. Τόμος Πρώτος. ΟΕΔΒ. ΑΘΗΝΑΙ 1971. Σελ. 171)

Βέβαια στο βιβλίο αυτό ακολουθούν εφαρμογές της "απαλείφουσας" αλλά εκείνη την εποχή το θέμα προχωρούσε και πιο πέρα
κι έτσι έβλεπες σε άλλα βιβλία και το θέμα της λεγόμενης "αλληλουχίας" των ριζών δύο τριωνυμων και άλλες ενδιαφέρουσες εφαρμογές.

Για παράδειγμα εκτενής τρόπος αναφοράς των εννοιών αυτών βρίσκει κανείς στο βιβλίο του Α.Πάλλα(Μεγάλη Άλγεβρα, τ.2, σελ. 24-54)
Μάλιστα στο βιβλίο αυτό η απαλείφουσα δύο τριωνύμων ονομάζεται και "συναρμόζουσα".

Γενικότερα θα έλεγε κανείς πως τα θέματα αυτά διδάσκονταν στη "χρυσή εποχή" του τριωνύμου που για άλλους ίσως ήταν και "ασθένεια", η λεγόμενη "τριωνυμίτιδα".
Έτσι όταν άρχισε η "αποδόμηση" των μαθηματικών, άρχισε και η "θεραπεία". Το πρώτο που έφυγε από το βάθρο ήταν η έννοια αυτή, κλπ. κλπ.
Αυτό πολλούς από τους μαχόμενους μαθηματικούς τους βρήκε αντίθετους, όμως οι εποχές αλλάζουν...κι ίσωςε εδώ ταιριάζει αυτό που γράφει κι Δημήτρης Χατζής:

«Πίσω του εκείνη τη μέρα οι σάλπιγγες των νέων καιρών γκρεμίζουν από θεμέλια
τα τείχη της ταμπάκικης Ιεριχώς μέσα σε πανδαιμόνιο απ’ ουρλιαχτά μηχανών.
Κόντευε η άνοιξη και πάνω απ΄ τη λίμνη κοπάδια αγριόχηνες τραβούσανε
πια για ψηλότερα. Σαν τρομαγμένα κι αυτά…»

Δημήτρης Χατζής: «Ο Σιούλας ο ταμπάκος».
Από τη συλλογή: «Το τέλος της μικρής μας πόλης(1963»)

Ερώτημα: "Σήμερα ποιά είναι η αντίστοιχη ".....ίτιδα;"

Κώστας Δόρτσιος

Ιστοσελίδα · #3

Rolle-ίτιδα;;; ΘΜΤ-ίτιδα;; Ή μήπως προχειρ-ίτιδα αφού σε καμία έννοια δεν μπαίνουμε πλέον τόσο βαθιά;;; Ένας αχταρμάς - πασπάλισμα από πολλά και διάφορα...

S.E.Louridas · #4

Πράγματι το ζητούμενο είναι να σπάει το ψυχρό σε κάποιες φάσεις αμφίδρομο Άσκηση ↔ Λύση.
Αυτό επιτυγχάνεται όταν ανοίγονται Μαθηματικοί Διάλογοι, με βάση κάποιο προτεινόμενο πρόβλημα ή γενικότερο θέμα.
Οι διάλογοι αυτοί πιστοποιούν την άρρηκτη σχέση μεταξύ της θεωρίας και της καλής επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Ένα τέτοιο Μαθηματικό θεωρητικό γίγνεσθαι που δημιουργεί προαπαιτούμενο, ώστε να λειτουργεί και το μυαλό κατά την εφαρμογή του στην πράξη δηλαδή την επίλυση αντίστοιχης άσκησης είναι η Απαλοιφή.
Η άλγεβρα που στις μέρες μας και σε πλάτος αναλώνεται, κυρίως στις ανισότητες ίσως λόγω της σημασίας τους στους ευρύτερους Διαγωνιστικούς Διαγωνισμούς, έχει εκτός των άλλων μεγάλων της στιγμών το πλεονέκτημα να αναγκάζει το μυαλό να λειτουργεί σε επίπεδο έξυπνων χειρισμών της θεωρίας.
Ποιος δεν θυμάται τα τεχνάσματα που όμως δεν ήταν magical combinations, αλλά ήταν αποτέλεσμα της σε βάθος γνώσης της θεωρίας, όπως ο τρόπος επίλυσης ενός ομογενούς συστήματος βαθμού μεγαλύτερου του 1 (με βάση τον μετασχηματισμό y = tx

, που αργότερα τον συναντούσε ο μαθητής και σαν φοιτητής πλέον στις διαφορικές) ή την μέθοδο του σταυροειδούς πολλαπλασιασμού (Bezout) κ.τ.λ.;
Και όλα αυτά τα απίστευτα προπονητικά για τον Μαθηματικό νου διδάσκονταν στο Λύκειο και ενίοτε από την Α΄ Λυκείου.
Ναι ένα τέτοια σημαντικότατο Αλγεβρικό - Μαθηματικό γίγνεσθαι είναι η ΑΠΑΛΟΙΦΗ.
Ίσως η πρώτη επαφή με την Απαλοιφή να πρέπει να είναι μέσω γραμμικού συστήματος 2x1

ή

.
Θεωρώ εν κατακλείδι ότι η Απαλοιφή θα μπορούσε να διδαχτεί σε κάποια φάση στο Λύκειο αφού συμβάλει κατά την άποψη μου στο δέσιμο της θεωρίας με την επίλυση κατά έξυπνο τρόπο αναγκάζοντας σε πολλές περιπτώσεις τον νου να "στροφάρει" και μάλιστα εντυπωσιακά.

(*) Παρεμπιπτόντως έχω μπροστά μου ένα «απαγορευμένο για τα νύν δεδομένα» θέμα Απαλοιφής (πάνω σε ένα γενικότερο θέμα με το οποίο ασχολούμαι) και που σας το καταθέτω:
Απαλείψτε το τόξο

από τις εξισώσεις,
$\matrix {\cos ^3 x + a\cos x = b} \\ {\sin ^3 x + a\sin x = c} \\ \endmatrix$

Ιστοσελίδα · #5

Μία "προσθήκη" για να δούμε και μερικές εφαρμογές της απαλείφουσας σε ιδιαίτερα ενδιαφέροντα αντικείμενα, αφού χρησιμοποιείται στην επίλυση αλγεβρικών συστημάτων γενικότερα...τα οποία βέβαια με τη σειρά τους έχουν τεράστιες εφαρμογές στην Υπολογιστική άλγεβρα.

#6

Το θέμα ξεχάστηκε. Επανέρχομαι γράφοντας μία απάντηση που βέβαια στους πιο πολλούς είναι γνωστή.

Τα τριώνυμα $f_{1}\left( x\right) =\alpha _{1}x^{2}+\beta _{1}x+\gamma _{1}$ , $f_{1}\left( x\right) =\alpha _{1}x^{2}+\beta _{1}x+\gamma _{1}$ θα έχουν κοινή ρίζα (πραγματική ή μιγαδική) αν και μόνο αν υπάρχει αριθμός $\rho$ ώστε
$f_{1}\left( \rho \right) =f_{2}\left( \rho \right) =0$
δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει αριθμός $\rho$ ώστε
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} {\alpha _1}{\rho ^2} + {\beta _1}\rho = - {\gamma _1}\\ {\alpha _2}{\rho ^2} + {\beta _2}\rho = - {\gamma _2} \end{array} \right\}}$
Αυτό σημαίνει ότι αφ΄ενός πρέπει το σύστημα
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} {\alpha _1}x + {\beta _1}y = - {\gamma _1}\\ {\alpha _2}x + {\beta _2}y = - {\gamma _2} \end{array} \right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \Sigma \right)}$
να έχει μία τουλάχιστον λύση (x,y)

και αφ΄ετέρου για κάποια από τις λύσεις του (x,y)

πρέπει να ισχύει $y^{2}=x$ .
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις
Περίπτωση 1.
$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right| \ne 0}$
Τότε το $(\left( \Sigma \right)$ έχει ακριβώς μία λύση και (x,y)

και
$\displaystyle{\left( {{f_1},{f_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\gamma _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\gamma _2}} \end{array}} \right|^2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _1}}&{{\gamma _1}}\\ {{\beta _2}}&{{\gamma _2}} \end{array}} \right| \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\gamma _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\gamma _2}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right|}}} \right)^2} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _1}}&{{\gamma _1}}\\ {{\beta _2}}&{{\gamma _2}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right|}}}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{ - {\gamma _1}}\\ {{\alpha _2}}&{ - {\gamma _2}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right|}}} \right)^2} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\gamma _1}}&{{\beta _1}}\\ { - {\gamma _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{D_y}}}{D}} \right)^2} = \frac{{{D_x}}}{D} \Leftrightarrow {y^2} = x}$
Περίπτωση 2.
$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}} \end{array}} \right| = 0}$
Στην περίπτωση αυτή η συνθήκη $\displaystyle{R\left( {{f_1},{f_2}} \right) = 0}$ είναι ισοδύναμη με το να έχει το $(\left( \Sigma \right)$ άπειρες λύσεις που ισοδυναμεί μα το να υπάρχει $\lambda$ ώστε $\left( \alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2}\right) =\lambda \left( \alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\right)$ που με την σειρά της ισοδυναμεί με το να έχουν τα δύο τριώνυμα τις ίδιες ρίζες.

Θα συμφωνήσω με όσα γράφουν παραπάνω οι συνάδελφοι. Το μείζον πρόβλημα είναι ότι παραμερίσθηκε ένα σημαντικό κομμάτι κλασικής Άλγεβρας για να το διαδεχθεί τι; Αλγεβρικές δομές και Πίνακες αρχικά και κακής ποιότητας Ανάλυση αργότερα. Τις τερατώδεις ασκήσεις με τα τριώνυμα και τις απόλυτες τιμές τις διαθέχθηκαν ασκήσεις σε δομές χωρίς κανένα αντίκρυσμα, ακατάληπτες κατασκευές με πίνακες και τώρα εξίσου τερατώδεις κατασκευές στις συναρτήσεις. Το πρόβλημα είναι ότι χάσαμε (μαζί με την Γεωμετρία) σχεδόν ολόκληρη την Άλγεβρα που είχε κομμάτια ενδιαφέροντα, κατανοητά και χρήσιμα όπου σχεδόν όλοι οι ισχυρισμοί αποδεικνύονταν και με μεγάλη ποικιλία ασκήσεων και προβλημάτων (μην κοιτάτε την ακαλαισθησία: αυτή τρυπώνει παντού) για να διδάξουμε μία ύλη που αναπόφευκτα είναι θρυμματισμένη (διότι πως να το κάνουμε δεν είναι κατάλληλη για αυτή την ηλικία ) με τις αποδείξεις στο περιθώριο και τα κολπάκια να έχουν την τιμητική τους.
Μαυρογιάννης

Απαλείφουσα

Απαλείφουσα

Re: Απαλείφουσα

Re: Απαλείφουσα

Re: Απαλείφουσα

Re: Απαλείφουσα

Re: Απαλείφουσα

Μέλη σε σύνδεση