Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4175
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Φεβ 26, 2018 12:21 pm

Δείξατε ότι
\displaystyle{\frac{\log 2}{2} < \frac{1}{e}} Προέκυψε τυχαία.... δεν έχω λύση!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Φεβ 26, 2018 12:38 pm

Ας το αφήσουμε για τους μαθητές μια και δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
sot arm
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Δευ Φεβ 26, 2018 8:53 pm

Καλησπέρα, η συνάρτηση :
\displaystyle{f(x)=\frac{lnx}{x}} είναι αύξουσα στο (0,e] , παραγωγιζοντας και τα σχετικά,
άρα \displaystyle{f(2)<f(e)} και τα λοιπά.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2891
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 27, 2018 11:17 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Φεβ 26, 2018 12:21 pm
Δείξατε ότι
\displaystyle{\frac{\log 2}{2} < \frac{1}{e}} Προέκυψε τυχαία.... δεν έχω λύση!
Γράφεται ισοδύναμα e\ln2< 2

λογαριθμίζοντας γίνεται 1+\ln(\ln2)< \ln2

Η τελευταία ισχύει γιατί από εφαρμογή του σχολικού είναι

\ln x< x-1,x> 0,x\neq 1

(θέτουμε x=\ln 2)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11904
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 27, 2018 11:33 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Φεβ 26, 2018 12:21 pm
Δείξατε ότι
\displaystyle{\frac{\log 2}{2} < \frac{1}{e}}
Είναι αρκετά γνωστό (και οι παραπάνω αποδείξεις το δείχνουν) ότι για κάθε x>0 ισχύει \displaystyle{ x^ {1/x}  \le e ^ {1/e} } με γνήσια ανισότητα αν x\ne e. Το παραπάνω είναι η ειδική περίπτωση x=2 ενώ κάποτε στον ΑΣΕΠ είχε πέσει η περίπτωση x=\pi.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης